Problem 2
Zeigen Sie: Jede Untergruppe von \((\mathbf{Z},+)\) ist von der Form \((n \mathbf{Z},+)\).
Problem 3
Machen Sie sich klar, dass \(\mathbf{Z}_{n}{ }^{*}\) bezüglich der Multiplikation modulo \(n\) eine Gruppe bildet. Machen Sie sich die Aussage zunächst am Beispiel \(n=15\) klar.
Problem 4
Bestimmen Sie die Symmetriegruppe eines Rechtecks, das kein Quadrat ist. Úberzeugen Sie sich durch eine Verknüpfungstabelle, dass die von Ihnen gefundenen Abbildungen wirklich eine Gruppe bilden.
Problem 6
\text { Bestimmen Sie die Symmetriegruppe eines regulären Tetraeders. }
Problem 8
Stellen Sie die Würfelgruppe dar (a) als Gruppe von Permutationen auf den sechs Flächen eines Würfels, (b) als Gruppe von Permutationen auf den zwölf Kanten eines Würfels.
Problem 9
(a) Zeigen Sie, dass jede Untergruppe von \(S_{4}\) die Ordnung \(1,2,3,4,6,8,12\) oder 24 haben muss. (b) Geben Sie zu jeder dieser Ordnungen eine Untergruppe an.
Problem 10
Ist 1 das einzige Element aus \(\mathbf{Z}\), das die zyklische Gruppe \((Z,+)\) erzeugt?
Problem 11
Bestimmen Sie alle Elemente, die die Gruppe \(\mathbf{Z}_{7}{ }^{*}\) bzw. \(\mathbf{Z}_{8}{ }^{*}\) erzeugen.
Problem 12
Zeigen Sie: Die Menge der natürlichen Zahlen zwischen 0 und \(n\) - 1 , die ein multiplikatives Inverses modulo \(n\) haben, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen zwischen 0 und \(n-1\), die mit \(n\) den größten gemeinsamen Teiler 1 haben (zwei natürliche Zahlen, deren ggT gleich 1 ist, nennt man auch teilerfremd) [Hinweis: Benutzen Sie das Lemma von Bézout.].
Problem 13
Sei \(p\) eine Primzahl. Bestimmen Sie \(\left|\mathbf{Z}_{p}{ }^{*}\right|\) und \(\left|\mathbf{Z}_{p^{2}}^{*}\right|\)
