Problem 15
Sei \(G\) eine beliebige Gruppe der Ordnung 65.536. Zeigen Sie, dass es in \(G\) ein Element der Ordnung 2 gibt (d. h. ein Element \(g\) mit \(g \neq e\) und \(g^{2}=e\) ).
Problem 16
Sei \(G\) eine abelsche Gruppe. (a) Wenn \(g\) und \(h\) zwei Elemente der Ordnung 2 in \(G\) sind, so hat auch \(g h\) die Ordnung \(2 .\) (b) Zeigen Sie: Zwei verschiedene Elemente der Ordnung 2 in \(G\) erzeugen eine Untergruppe der Ordnung 4 . (c) Zeigen Sie: Sei \(G\) eine zyklische Gruppe gerader Ordnung. Dann enthält \(G\) genau ein Element der Ordnung 2 .
Problem 17
Sei \(G\) eine beliebige Gruppe und \(U\) eine Untergruppe von \(G\). Zeigen Sie: Wenn \(U\) den Index 2 hat, so ist \(U\) ein Normalteiler.
Problem 18
Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen der \(S_{3}\). [Hinweis: Es gibt genau vier nichttriviale Untergruppen.]
Problem 20
Sei \(V\) ein Vektorraum über einem Körper \(K=G F(p)\), dessen Ordnung eine Primzahl \(p\) ist. Zeigen Sie: Jedes von Null verschiedene Element von \(V\) hat in der additiven Gruppe die Ordnung \(p\).
Problem 22
Mit \(G L(n, q)\) bezeichnen wir die Gruppe der invertierbaren \(\mathrm{n} \times \mathrm{n}\)-Matrizen mit Elementen aus \(G F(q)\). Bestimmen Sie die Ordnung von \(G L(n, q)\) für \(n=2\) und \(n=3\). Zusatzfrage: Können Sie eine allgemeine Formel für \(|G L(n, q)|\) angeben?
Problem 23
Zeigen Sie, dass die Menge \(S L(n, q)\) der \(\mathrm{n} \times \mathrm{n}\)-Matrizen \(M\) über \(G F(q)\) mit \(\operatorname{det}(M)=1\) eine Untergruppe von \(G L(n, q)\) ist. Bestimmen Sie den Index dieser Untergruppe in \(G L(n, q)\)
Problem 25
Sei \(f: G \rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie: \(\operatorname{Kern}(f)\) ist eine Untergruppe von \(G\), Bild \((f)\) ist eine Untergruppe von \(H\).
Problem 26
Sei \(f: G \rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass für jedes Element \(g\) von \(G\) gilt: \(f\left(g^{-1}\right)=f(g)^{-1}\).
Problem 27
Sei \(G:=\mathbf{R} \backslash\\{-1\\}\). Wir definieren auf \(G\) eine Operation * wie folgt: \(x^{*} y:=x y+x+y\). (a) Zeigen Sie, dass \(\left(G_{2}{ }^{*}\right)\) eine Gruppe ist. (b) Geben Sie einen Isomorphismus von \((G,) \operatorname{auf}\left(\mathbf{R}^{*}, \cdot\right\), an.
