Problem 28
Sei \(G\) eine Gruppe, und sei \(N\) eine Untergruppe von \(G\). Zeigen Sie \(N\) ist ein Normalteiler \(\Leftrightarrow g^{-1} N g \subseteq N\) für alle \(g \in G\).
Problem 29
Sei \(N\) ein Normalteiler der Gruppe G. Zeigen Sie, dass \(G / N\) eine Gruppe ist.
Problem 30
Bestimmen Sie alle Gruppen der Ordnung \(1,2,3,4,5,6,7\) Zusatzfrage: Bestimmen Sie alle Gruppen der Ordnung \(8 .\)
Problem 32
Sei \(K\) ein endlicher Körper. Betrachten Sie die Abbildung \(f: K^{*} \rightarrow K^{*}\), die definiert ist durch $$ f(x):=x^{2} $$ Ist \(f\) ein Gruppenhomomorphismus? (Wenn ja, zwischen welchen Gruppen?) Ist \(f\) ein Körperhomomorphismus? Geben Sie gegebenenfalls den Kern und das Bild von \(f\) an. [Unterscheiden Sie Körper, in denen \(1+1=0\) gilt, von allen anderen.]
Problem 33
Bestimmen sie die Ordnungen folgender geometrischer Abbildungen der affinen Ebenen über \(\mathbf{R}\) in sich: Spiegelung, Drehung um den Winkel \(360^{\circ} / n\), Punktspiegelung.
