Problem 1
Bestimmen Sie die Lösungen der Differentialgleichungen (a) \(\left(x^{2}-1\right) y^{\prime}+2 x y^{2}=0\), (b) \(x y^{\prime}+y \ln y=0\) (c) \(y^{\prime}=2 x \frac{\cos ^{2} y}{1+x^{2}}\), (d) \(x y^{\prime}=\sqrt{x} y^{2}\) (e) \(y^{\prime}=\frac{\sinh y}{x^{2}+1}\), (f) \(y^{\prime \prime} \tan x=y^{\prime}+1\), (g) \(y^{\prime} \sin x=y^{2}-y\).
Problem 2
Lösen Sie die Anfangswertprobleme (Ähnlichkeitsdifferentialgleichung) (a) \(\quad(x-y) y-x^{2} y^{\prime}=0, x>0, y(1)=1\), (b) \(y^{\prime}=\frac{3 x^{2}-y^{2}}{2 x y}, x \neq 0, y(1)=2\).
Problem 3
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen (BERNOULLI- Typ) (a) \(x y^{\prime}+y=y^{2} \ln x, x>0\), (b) \(x y^{\prime}+x y^{2}=y, x \neq 0\).
Problem 4
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen (a) \(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=-\frac{17}{2} \cos 2 x\), (b) \(y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+5 y=4 e^{x}\).
Problem 5
Ermitteln Sie ein reelles Fundamentalsystem und geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen an (a) \(y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0\), (b) \(y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}-10 y=0\).
Problem 7
Stellen Sie für die Differentialgleichung $$ y^{\prime \prime \prime}+\sin ^{2} x y^{\prime \prime}+x^{2} y^{\prime}-3 y=\cos x $$ ein äquivalentes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung auf.
Problem 8
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichungssysteme (a) \(\left(\begin{array}{l}y_{1}^{\prime} \\ y_{2}^{\prime} \\\ y_{3}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\\ y_{3}\end{array}\right)\), (b) \(\left(\begin{array}{l}y_{1}^{\prime} \\\ y_{2}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e^{2 x} \\\ 0\end{array}\right)\).
Problem 9
Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems $$ \left(\begin{array}{l} y_{1}^{\prime} \\ y_{2}^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} y_{1}(0) \\ y_{2}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) $$
Problem 11
Untersuchen Sie das Randwertproblem $$ y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x, \quad y(0)=1, \quad y\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)-y^{\prime}\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)=-2 \text {, } $$ auf Lösbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls alle Lösungen.
Problem 12
Bestimmen Sie alle Zahlen \(\alpha \in \mathbb{R}\), so dass das Randwertproblem $$ y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)+2 y^{\prime}(0)=1, \quad y(1)-\alpha y^{\prime}(1)=2 $$ eindeutig lösbar ist und berechnen Sie die Lösung.
