Problem 14
Weisen Sie nach, dass die HERMITE-Polynome
$$
H_{k}(x)=(-1)^{k} e^{x^{2}} \frac{d^{k}}{d x^{k}}\left(e^{-x^{2}}\right), k
\in \mathbb{N}, \quad \text { z.B. } H_{0}(x)=1, H_{1}(x)=2 x
$$
als Eigenfunktionen des Eigenwertproblems
$$
-L[y]:=-\left(e^{-x^{2}} y^{\prime}\right)^{\prime}=\lambda e^{-x^{2}} y,-\infty
Problem 15
Bestimmen Sie die stationären Punkte der dynamischen Systeme (a) \(\left(\begin{array}{c}\dot{x} \\\ \dot{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x y-4 \\\ x-y\end{array}\right)\) und (b) \(\left(\begin{array}{l}\dot{x} \\\ \dot{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x^{2}-25 y \\ 5-x y\end{array}\right)\) und untersuchen Sie deren Stabilitätsverhalten.
Problem 16
Bestimmen Sie alle Eigenwerte, zugehörige linear unabhängige Eigenvektoren und gegebenenfalls Hauptvektoren der folgender Matrizen. $$ A=\left(\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ Tipp: Eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms zur Bestimmung der Eigenwerte von \(A\) ist \(-2\).
Problem 19
Zeigen Sie, dass die angegebenen Funktionen \(I(x)\) jeweils Erhaltungsgrößen der Differentialgleichungen sind, und geben Sie die Lösungen mit Definitionsbereich an. Skizzieren Sie einige Lösungen. $$ \begin{aligned} &x+y y^{\prime}=0 \quad I(x)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) \\ &1+\frac{1}{y}-\frac{x}{y^{2}} y^{\prime}=0, x, y>0, \quad I(x)=x+\frac{x}{y} \end{aligned} $$
