Problem 1
Berechnen Sie die Ableitung der Verkettung \((\mathrm{f} \circ \mathbf{g})\) der Abbildungen $$ \mathbf{g}(x, y)=\left(\sin x, \cos y, e^{x y}\right)^{T} \quad \text { und } \quad \mathbf{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}\right)^{T} $$
Problem 2
Berechnen Sie die Ableitung und den Gradienten der Funktion $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} \ln \left(x_{2} x_{3}\right)+e^{x_{2}+x_{1} x_{3}} $$
Problem 3
Approximieren Sie die Abbildung \(\mathbf{f}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) $$ \mathbf{f}(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{c} x y \sin z \\ x+y^{3} z \end{array}\right) $$ durch eine lineare Abbildung um den Punkt \(\mathbf{x}_{0}=(0,0,0)^{T}\).
Problem 4
Berechnen Sie das TAYLOR-Polynom 2. Grades der Funktion \(f(x, y, z)=x y z^{3}\) am Entwicklungspunkt \(\mathbf{x}_{0}=(1,1,1)^{T}\).
Problem 5
Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion \(f(x, y)=\frac{x^{2}}{y^{2}}\) am Punkt \(\mathbf{x}=(1,1)^{T}\) in Richtung von \(\mathbf{a}=(1,2)^{T}\).
Problem 6
Bestimmen Sie das maximale Produkt der 3 nichtnegativen Zahlen \(x, y\) und \(z\), deren Summe gleich 105 ist.
Problem 7
Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe zur Bestimmung des kürzesten Abstandes des Punktes \(\mathbf{x}_{0}=(5,7,18)^{T}\) von der Oberfläche des Ellipsoids $$ E=\left\\{(x, y, z)^{T} \mid 2 x^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2} \leq 1\right\\} $$ und stellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Kandidaten für Extremalstellen auf.
Problem 8
Berechnen Sie die Niveaus \(1, \frac{1}{2}\) und \(\frac{1}{4}\) der Funktion $$ f: D \rightarrow \mathbb{R}, D=\left\\{(x, y)^{T} \mid 4 x^{2}+9 y^{2} \leq 1\right\\}, \quad f(x, y)=\sqrt{1-4 x^{2}-9 y^{2}} $$
Problem 9
Ermitteln Sie die maximale Krümmung und deren Ort für die Kurve $$ \gamma(t)=(3 \sin t, 4 \cos t, 2)^{T}, t \in[0,2 \pi] $$ und geben Sie den maximalen Krümmungsradius an.
Problem 10
Untersuchen Sie die auf \(D=\left\\{(x, y)^{T} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\\}\) definierte Funktion $$ f(x, y)=\left\\{\begin{array}{lll} \frac{\sin \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { für } & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 1 & \text { für } & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. $$ auf lokale und globale Extrema.
