Problem 12
Gegeben sei die Funktion $$ f: \mathbb{R}^{3} \backslash\\{\mathbf{0}\\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y, z)=\ln (|\mathbf{x}|)(\mathbf{x}=(x, y, z)) $$ Berechnen Sie den Gradienten sowie die Richtungsableitung in Richtung \(\mathrm{v}=\) \((1,0,1)^{T}\) im Punkt \(P=(1,1,0)\) und außerdem rot grad \(f\)
Problem 13
Betrachten Sie die Funktion $$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=x^{2}+x+x y+y^{3} $$ (a) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrem- bzw. Sattelstellen der Funktion auf \(\mathbb{R}^{2}\) und geben Sie die TAYLOR-Polynome 2. Grades von \(f\) an den gefundenen Stellen an. (b) Charakterisieren Sie sämtliche lokalen wie globalen Extremalstellen von \(f\) auf der Menge \(H=\left\\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x+y \leq 0\right\\}\).
Problem 14
Gegeben sei eine Funktion $$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text { mit } \quad f^{\prime}(x, y)=\left(\sin \left(x^{2}\right) y\right) $$ sowie die Abbildung $$ \left.\mathbf{g}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \quad \text { mit } \quad \mathbf{g}(x, y)=(x y, x+2 y)^{T}\right) $$ Ermitteln Sie für die Funktion $$ h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text { mit } h=f \circ \mathbf{g} $$ im Punkt \((1,0)\) die Richtung des stärksten Anstiegs.
Problem 15
Gegeben sind die Abbildungen $$ \mathbf{v}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad \mathbf{v}(x, y)=\left(\begin{array}{c} x+y^{2} \\ \sin x \cos y \\ e^{x^{2}+y^{2}} \end{array}\right) $$ und $$ \mathbf{w}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad \mathbf{w}(r, s, t)=\left(\begin{array}{c} r+s t \\ \ln \left(1+r^{2}+s^{2}+t^{2}\right) \end{array}\right) $$ (a) Berechnen Sie die Ableitungsmatrizen \(\mathbf{v}^{\prime}(x, y)\) und \(\mathbf{w}^{\prime}(r, s, t)\). (b) Berechnen Sie sämtliche mögliche Verknüpfungen der beiden Abbild gen.
Problem 16
(a) Es ist die Funktion $$ f:] 0, \infty\left[\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y, z)=x^{y}+\sin \left(x y z^{2}\right)\right. $$ gegeben. Berechnen Sie den Gradienten von \(f\) und geben Sie für die Abbildung \(\mathbf{g}(x, y, z)=\operatorname{grad}_{(x, y, z)} f\) den maximalen Definitionsbereich an. (b) Berechnen Sie die Ableitungsmatrix der Abbildung \(\mathrm{g}\).
Problem 17
(a) Gegeben ist die Matrix $$ M=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array}\right), \text { der Vektor } \mathbf{y}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) $$ und die Funktion $$ F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ;, \quad F(x, y)=\left\|M\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)-\mathbf{y}\right\|_{2}^{2} $$ Berechnen Sie den Gradienten und die HESSE-Matrix von \(F .\) (b) Bestimmen Sie sämtliche lokalen Extremalstellen und entscheiden Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt.
Problem 18
Berechnen Sie für die Abbildung $$ \mathbf{k}:[0,1] \times\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \times[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad \mathbf{k}(r, \theta, \phi)=\left(\begin{array}{c} r \cos \phi \cos \theta \\ r \sin \phi \cos \theta \\ r \sin \theta \end{array}\right) $$ die Ableitungsmatrix \(\mathbf{k}^{\prime}(r, \theta, \phi)\) und deren Determinante.
