Problem 1
Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen $$ A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & a \\ -1 & 2 & -1 \\ b & -1 & 1 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{array}\right) $$
Problem 3
Untersuchen Sie das lineare Gleichungssystem \(A_{k} \mathbf{x}=\mathbf{b}_{k}\) auf Lösbarkeit und ermitteln Sie gegebenenfalls alle Lösungen für $$ \begin{aligned} &A_{1}=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -2 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right), \mathbf{b}_{1}=\left(\begin{array}{r} 3 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right) \\ &A_{2}=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right), \mathbf{b}_{2}=\left(\begin{array}{r} 3 \\ -3 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right) \end{aligned} $$
Problem 4
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrizen $$ A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & -6 & 4 \end{array}\right) $$ und berechnen Sie die dazugehörenden Eigenvektoren und im Falle des Defizits von Eigenvektoren die Hauptvektoren. Geben Sie jeweils die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten an.
Problem 6
Weisen Sie nach, dass die Ortsvektoren der Punkte \(P_{1}=(0,3,4), P_{2}=(0,4,2)\) \(P_{3}=(2,0,1)\) eine Basis des \(\mathbb{R}^{3}\) bilden. Orthonormieren Sie diese Basis. Berechnen Sie schließlich die Koordinaten des Vektors \(\mathbf{x}=(1,1,1)^{T}=\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}+\mathbf{e}_{3}\) bezüglich der orthonormierten Ortsvektorbasis.
Problem 7
Durch \((p, q)=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x\) ist ein Skalarprodukt für integrierbare Funktionen erklärt. Zeigen Sie, dass die Polynome \(p_{1}(x)=1, p_{2}(x)=x\) und \(p_{3}(x)=x^{2}\) eine Basis des Vektorraums über \(\mathbb{R}\) der Polynome 2. Grades mit reellen Koeffizienten bilden. Orthonormieren Sie die Basis.
Problem 8
Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes \(P^{\prime}=(1,4,8)\) von der Geraden \(g\), die durch die Gleichungen \(x+y+4 z=1\) und \(2 x+y+6 z=2\) beschrieben wird. Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes \(P^{\prime}\) von der Ebene \(E\), die durch die Gleichung \(x+y+z=2\) beschrieben wird. Berechnen Sie schließlich den Durchstoßpunkt der Geraden \(g\) durch die Ebene \(E .\)
Problem 10
Gegeben ist ein Dreieck \(\triangle \mathbf{0} A B\) mit den Punkten \(A=(1,4,2)\) und \(B=(2,5,1)\). 0 ist der Ursprung im \(\mathbb{R}^{3}\). Berechnen Sie mit den Mitteln der Vektorrechnung den Flächeninhalt des Dreiecks.
Problem 12
Untersuchen Sie das lineare Gleichungssystem \(A_{k} \mathbf{x}=\mathbf{b}_{k}\) auf Lösbarkeit in Anhängigkeit der reellen Parameter \(\alpha, \beta\) und ermitteln Sie gegebenenfalls alle Lösungen für $$ A_{1}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & \alpha \end{array}\right), \mathbf{b}_{1}=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \\ 5 \end{array}\right) $$A_{2}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{array}\right), \mathbf{b}_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)
Problem 13
Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors a \(=(1,2,3)^{T}\) bezügl. der Basis, bestehend aus den Vektoren \(\mathbf{b}_{1}=(1,1,1)^{T}, \mathbf{b}_{2}=(1,2,1), \mathbf{b}_{3}=(0,0,1)^{T}\).
Problem 15
Berechnen Sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und gegebenfalls Hauptvektoren der Matrizen $$ A=\left(\begin{array}{llr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & -3 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$
