Problem 16
Untersuchen Sie die linearen Gleichungssysteme $$ \left(\begin{array}{llll} 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{llllll} 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ u \\ v \\ w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 8 \\ 10 \\ 15 \end{array}\right) $$ auf Lösbarkeit und ermitteln Sie gegebenenfalls alle Lösungen.
Problem 18
Bestimmen Sie die \(Q R\)-Zerlegungen der Matrizen $$ A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 1 & 6 \end{array}\right) $$
Problem 19
Orthonormieren Sie die Vektoren $$ \mathbf{c}_{1}=\left(\begin{array}{c} i \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad \mathbf{c}_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1+i \\ 0 \end{array}\right), \quad \mathbf{c}_{3}=\left(\begin{array}{c} 2 i \\ 1 \\ 1-i \end{array}\right) $$ aus dem \(\mathbb{C}^{3}\).
Problem 20
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $$ D=\left(\begin{array}{rr} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right) $$ für beliebige Winkel \(\alpha \in[0,2 \pi]\).
