Problem 1
Berechnen Sie den Wert der Reihe \(\sum_{k=3}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{k}\).
Problem 2
Untersuchen Sie die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}\) auf ihr Konvergenzverhalten.
Problem 3
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k !}(x-5)^{k}\) und geben Sie das Konvergenzintervall an. Untersuchen Sie die Konvergenzeigenschaften an den Randpunkten des Konvergenzintervalls.
Problem 4
Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1-i}{2-i}\right)^{k}(z-i)^{k}\) und geben Sie den Konvergenzkreis an.
Problem 5
Von einer Potenzreihe \(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(x-2)^{k}, a_{k} \in \mathbb{R}\), weiß man, dass sie für \(x=5\) absolut konvergent ist, für \(x=-2\) konvergent und für \(x=-4\) divergent ist. Was kann man über den Konvergenzradius aussagen? In welchen Intervallen liegt mit Sicherheit Konvergenz bzw. Divergenz vor?
Problem 6
Zeigen Sie unter Nutzung der arctan-Reihe die Gültigkeit der Beziehung $$ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+-\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{1}{2 k+1} $$ und geben Sie eine Zahl \(n \in \mathbb{N}\) an, so dass der Fehler bei der Berechnung von \(\frac{\pi}{4}\) durch \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{1}{2 k+1}\) kleiner als \(10^{-5}\) wird.
Problem 7
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=\frac{4}{\pi}\left(\pi x-x^{2}\right), x \in[0, \pi]\). Setzen Sie die Funktion ungerade zu einer \(2 \pi\)-periodischen Funktion fort und berechnen Sie die FOURIER-Reihe der Funktion.
Problem 8
Berechnen Sie die FOURIER-Reihe der ungeraden \(2 \pi\)-periodischen Funktion $$ f(x)=\left\\{\begin{array}{lll} y=x & \text { für } & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ y=\pi-x & \text { für } & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3 \pi}{2} \end{array}\right. $$ Nutzen Sie das Ergebnis und die PARSEVALsche Gleichung zur Berechnung des Wertes der Reihen $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}} \text { bzw. } \quad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{4}} $$
Problem 10
(a) Bestimmen Sie das komplexe FOURIER-Polynom \(n\)-ter Ordnung der Funktion \(f\), die definiert ist durch \(f(x)=e^{2 x}\) für \(0 \leq x \leq 1\) mit \(f(x)=f(x+2)\) und \(f(x)=f(-x)\). (b) Wie lautet die zugehörige Darstellung des FOURIER-Polynoms \(n\)-ter Ordnung im Reellen?.
Problem 11
Approximieren Sie \(\sin x\) im Intervall \(] 0, \pi[\) durch ein FOURIER-Polynom \(n\)-ter Ordnung, das nur Cosinus-Terme enthält.
