Chapter 2

Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen $$ \left(a_{n}\right)=\left(\frac{4 n^{2}+\sqrt{3}}{3 n^{2}+4 n+25}\right), \quad\left(b_{n}\right)=(\sqrt[n]{n+4}), \quad\left(c_{n}\right)=\left(\frac{\sin \left(n^{3}\right)}{n}\right),\left(d_{n}\right)=\left(\frac{n}{e^{n}}\right) . $$

Berechnen Sie die Grenzwerte $$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x+\sqrt{x}}{x}, \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{3}\right)}{x^{2}}, \quad \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}. $$

Berechnen Sie die Ableitungen der Funktion $$ f_{1}(x)=\sqrt{\sin x}, \quad f_{2}(x)=x^{x^{2}}, \quad f_{3}(x)=\frac{x e^{x}}{\arctan x}, \quad f_{4}(x)=x \sqrt{x} \cos x $$

Berechnen Sie das TAYLOR-Polynom 2. Grades der Funktion \(f(x)=\sqrt{1+x^{2}}\) mit dem Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\), und schätzen Sie die Genauigkeit der Approximation von \(f\) durch das TAYLOR-Polynom für \(x \in\left[0, \frac{1}{5}\right]\) ab.

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale/Stammfunktionen $$ \int \frac{x^{3}}{x^{2}+2 x-1} d x, \int e^{3 x} \cos x d x, \int \frac{1}{\cos x+\sin x+1} d x. $$

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Funktion \(f(x)=x^{3}, x \in[0, \pi]\) um die \(y\)-Achse entsteht.

Berechnen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Funktion \(f(x)=\sqrt{4-x^{2}}, x \in[0,2]\) um die \(y\)-Achse entsteht.

Untersuchen Sie die uneigentlichen Integrale $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{4}} d x, \quad \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}-1} d x, \quad \int_{0}^{\infty} \frac{\cos ^{2} x}{1+x^{3}} d x $$ auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Werte.

Konstruieren Sie mit dem NEWTON-Verfahren eine rekursive Folge zur näherungsweisen Berechnung von \(\sqrt{5}\).

$$ \begin{aligned} &\text { Bestimmen Sie das LAGRANGE-Polynom zur Interpolation der Messwerte }\\\ &\begin{array}{ccccc} \hline x_{i} & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \hline y_{i} & 0 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \end{aligned} $$