Problem 1
Untersuchen Sie das uneigentliche Integral \(\quad \int_{-\infty}^{\infty} x^{3} d x\) auf Konvergenz und berechnen Sie den CAUCHYschen Hauptwert.
Problem 2
Berechnen Sie die FOURIER-Transformierte der Funktion \(f(t)=\frac{1}{a^{2}+t^{2}}, a>0\).
Problem 3
Berechnen Sie das Faltungsprodukt \((f * g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) g(\tau) d \tau\) für \(f(t)=\) \(e^{-c|t|}\) und \(g(t)=\cos (\omega t)\), wobei \(c>0\) gilt.
Problem 4
Zeigen Sie für eine ungerade Funktion \(f(t)\) die Beziehung $$ \mathcal{F}[f](\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t=-\frac{i}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \sin (\omega t) d t $$
Problem 6
Berechnen Sie die LAPLACE-Transformierten der Funktionen (a) \(f(t)=e^{b t} \cos (a t)\), (b) \(g(t)=e^{b t} \sinh (a t)\), und weisen damit die Gültigkeit der entsprechenden Einträge in der Tabelle der LAPLACE-Transformierten nach.
Problem 7
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von (a) \(F(z)=\frac{3 z-5}{z^{2}-4 z+3}\), (b) \(G(z)=\frac{2}{z\left(z^{2}+4\right)}\) und daraus mit Hilfe der Tabelle der LAPLACE-Transformierten diejenigen Funktionen, deren LAPLACE-Transformierten \(F(z)\) bzw. \(G(z)\) sind.
Problem 8
Lösen Sie mit Hilfe der LAPLACE-Transformation das Anfangswertproblem $$ y^{\prime \prime}(x)+4 y^{\prime}(x)+6 y(x)=1+e^{-x}, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 . $$
Problem 9
Lösen Sie mit Hilfe der LAPLACE-Transformation das Anfangswertproblem $$ \begin{gathered} u^{\prime}(t)=u(t)+4 v(t)+e^{t} \\ v^{\prime}(t)=u(t)+v(t)+e^{t} \\ u(0)=-\frac{1}{2}, v(0)=1 . \end{gathered} $$
Problem 10
Lösen Sie die Integralgleichung $$ \int_{0}^{t} \cos (t-\tau) f(\tau) d \tau=t \sin t $$ unter Nutzung der Rechenregeln für Faltung von Funktionen und deren LAPLACE- Transformierten.
Problem 11
Lösen Sie mit Hilfe der LAPLACE-Transformation das Anfangswertproblem $$ y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)+y(x)=\sin (2 x)+\cos x, \quad y(\pi)=1, y^{\prime}(\pi)=0 $$ Hinweis: Führen Sie durch \(v(r):=y(r+\pi)\) eine neue gesuchte Funktion ein, die die Anfangsbedingungen \(v(0)=1, v^{\prime}(0)=0\) erfüllt.
