Problem 12
Berechnen Sie die GREENsche Funktion des Anfangswertproblems $$ y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=e^{t}, \quad y^{\prime \prime}(0)=y^{\prime}(0)=y(0)=0 $$ und berechnen Sie die Lösung.
Problem 14
Berechnen Sie die FOURIER-Transformierten \(F=\mathcal{F}[f]\) und \(G=\mathcal{F}[g]\), wobei $$ f(t)=\chi_{[-1,1]}(t)\left(1-t^{2}\right)= \begin{cases}\left(1-t^{2}\right) & \text { falls }-1 \leq t \leq 1 \\ 0 & \text { sonst }\end{cases} $$ und \(^{1}\) $$ g(t)=\chi_{[-3,-1]}(t)+\chi_{[1,3]}(t)= \begin{cases}1 & \text { falls }-3 \leq t \leq-1 \text { oder } 1 \leq t \leq 3 \\ 0 & \text { sonst. }\end{cases} $$ Nutzen Sie die Ergebnisse zur Bestimmung der FOURIER-Transformierten von \(H(x)=\frac{\sin x \cos 2 x}{x}\)
Problem 15
Sei \(U: \mathbb{R} \times[0, \infty[\rightarrow \mathbb{R}\) die Lösung des Anfangswertproblems $$ \begin{gathered} \frac{\partial U}{\partial t}(x, t)=4 \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}(x, t) \\ \lim _{x \rightarrow \pm \infty} U(x, t)=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\partial U}{\partial x}(x, t)=0, \text { f.a. } t>0 \\ U(x, 0)=\frac{1}{x^{2}+9}, \text { f.a. } x \in \mathbb{R} \end{gathered} $$ Verwenden Sie die FOURIER-Transformierte bezüglich \(x\), um \(U(x, t)\) zu berechnen.
