Chapter 1

Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung der BERNOULLIschen Ungleichung: $$ \left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots \cdot\left(1+a_{n}\right)>1+\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right) $$ für \(a_{k}>0\) und \(n \geq 2\).

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die folgende Verallgemeinerung der BERNOULLIschen Ungleichung gilt: Für \(01-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right) $$.

Weisen Sie die Gültigkeit der Summenformel $$ 1+a+a^{2}+\cdots+a^{n}=\frac{1-a^{n+1}}{1-a} $$ für \(0

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung \(|x-5|<\frac{1}{x}\).

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Ungleichungssystems $$ \begin{array}{r} x^{2}+6 x+2>0 \\ |x+3| \leq 4 \end{array} $$.

Ermitteln Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl \(z=\frac{e^{i \frac{\pi}{2}}+3-5 i}{2-i}\).

Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl \(z=e^{i \frac{5 \pi}{6}}+\frac{2-i}{1+i}\).

Berechnen Sie Argument und Betrag der komplexen Zahl \(z=2+2 \sqrt{3} i\).

Bestimmen Sie die 4 . Wurzeln der imaginären Einheit \(i\).

Zerlegen Sie das Polynom \(p(z)=z^{5}+32\) durch die Bestimmung der Nullstellen in Linearfaktoren.