Chapter 1

Von den folgenden komplexen Zahlen bestimme man jeweils Real- und Imaginärteit: $$ \begin{gathered} \frac{i-1}{i+1} ; \quad \frac{3+4 i}{1-2 i} ; i^{n}, n \in Z ; \quad\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{n}, n \in Z \\ \left(\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\right)^{n}, n \in Z: \sum_{v=0}^{T}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{v} ; \frac{(1+i)^{4}}{(1-i)^{3}}+\frac{(1-i)^{4}}{(1+i)^{3}} \end{gathered} $$

Man beweise die \(„\) Dreiecksungleich wng" $$ |z+w| \leq|z|+|\mathbf{w}|, \quad z, w \in C $$ und diskutiere, wann das Gleichheitszeichen gilt; ferner beweise man die folgende Variante der Dreiecksungleichung: $$ || z|-| w|| \leq|z-w|, \quad 2, w \in \mathbb{C} $$

Die folgenden Teilmengen von \(C\) veranschauliche man sich in der komplexen Zahlenebene: a) Seien \(a, b \in \mathbb{C}, b \neq 0\), und $$ \begin{aligned} G_{0} &:=\\{z \in \mathrm{C} ;&\left.\operatorname{Im}\left(\frac{z-a}{b}\right)=0\right\\} \\ G_{+} &:=\\{z \in \mathrm{C} ;&\left.\operatorname{Im}\left(\frac{z-a}{b}\right)>0\right\\} \text { und } \\\ G_{-} &:=\\{z \in \mathcal{C} ;&\left.\operatorname{lm}\left(\frac{z-a}{b}\right)<0\right\\} \end{aligned} $$ b) Seien \(a, c \in \mathbb{R}\) und \(b \in \mathrm{C}\) mit \(b \bar{b}-a c>0\) $$ \boldsymbol{K}:=\\{z \in \mathbf{C} ; \quad a z \bar{z}+\bar{b} z+b \xi+c=0\\} $$ \(L:=\left\\{z \in \mathrm{C} ; \quad\left|z-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|^{2} \cdot\left|z+\frac{\sqrt{2}}{2}\right|^{2}=\frac{1}{4}\right\\}\)

Quadratwurzeln und Lösbarkeit quadratischer Gleichungen in C Sei \(c=a+i b \neq 0\) eine vorgegebene komplexe Zahl. Durch Aufspaltung in Realund Imaginärteil zeige man, dass es genau zwei verschiedene komplexe Zahlen \({ }_{1} \mathrm{~s}\) und \(z_{2}\) gibt mit $$ z_{1}^{2}=t_{2}^{2}=c . \text { Es ist } z_{2}=-z_{1^{*}} $$ \(\left(z_{1}\right.\) und \(z_{2}\) heiben die Qundratwurzeln aus c.) Als Beispiel bestimme man jeweils die Quadratwurzeln aus. $$ 5+7 i \text { bzw. } \sqrt{2}+i \sqrt{2} $$ Man löse diese Aufgabe auch mit Polarkoordinaten. Ferner zeige man, dass eine quadratische Gleichung $$ x^{2}+\alpha z+\beta=0, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{C} \text { beliebig, } $$ stets (h?chstens zwei) Lösungen \(z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}\) besitzt.

Existenz von \(n\)-ten Wurzeln Sei \(a \in C\) und \(n \in N\). Eine komplexe Zahl z heiBt (eine) \(n\)-te Wurzel aus \(a\), wenn \(z^{\mathrm{n}}=a\) gilt. Man zeige: Ist \(a=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \neq 0\), dann besitat a genau \(n\) (verschiedene) \(n\)-te Wurzeln, nämlich die komplexen Zahlen$$ z_{v}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2 \pi \nu}{n}+i \sin \frac{\varphi+2 \pi \nu}{n}\right), \quad 0 \leq \nu \leq n-1 $$ Im Spezialfall \(a=1\) (also \(r=1, \varphi=0\) ) erhält man Satz 1.7.

Man bestimme alle \(z \in C\) mit $$ z^{3}-i=0 $$

Sei \(P\) ein Polynom mit komplexen Koeffizienten: \(P(z):=a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{0}\) mit \(n \in \mathbb{N}_{0}, a_{\nu} \in C\), für \(0 \leq \nu \leq n\) Eine reelle oder komplexe Zahl \(\zeta\) heiBt Nultstelle von \(P\), falls \(P(\zeta)=0\) gilt. Man zexge: Wenn alle Koeffirienten \(a_{\nu}\) reell sind, dann gilt $$ P(\zeta)=0 \Longrightarrow P(\bar{\zeta})=0 $$ Mit anderen Worten: Hat das Polynom \(P\) nur reelle Koeffizienten, dann treten die nicht reellen Nullstellen von \(P\) in Paaren konjugiert komplexer Nullstellen auf.

a) Sei Hl \(:=\\{z \in \mathrm{C} ; \quad \operatorname{lm} z>0\\}\) die obere Halbebene. Man zeige: \(z \in \mathrm{H} \Leftrightarrow-1 / z \in \mathrm{H}\) b) Seien \(z, a \in \mathbb{C}\) Man zeige: \(\quad|1-z \bar{a}|^{2}-|z-a|^{2}=\left(1-|z|^{2}\right)\left(1-|a|^{2}\right) .\) Mon folgere: Ist \(|a|<1\), dann gilt \(|z|<1 \Longleftrightarrow\left|\frac{z-a}{\bar{a} z-1}\right|<1\) und \(|z|=1 \Longleftrightarrow\left|\frac{z-a}{\bar{a} z-1}\right|=1\)

Man verifiziere fir \(z=x+\mathrm{i} y \in \mathrm{C}\) die Ungleichungen und $$ \frac{|x|+|y|}{\sqrt{2}} \leq|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq|x|+|y| $$ $$ \max \\{|x|,|y|\\} \leq|z| \leq \sqrt{2} \max \\{|x|,|y|\\} $$

Jedes \(z \in S^{1}-\\{-1\\}\), \(S^{1} ;=\\{z \in \mathrm{C} ; \quad|z|=1\\}\) l?sst sich eindeutig in der Form \(z=\frac{1+i \lambda}{1-i \lambda}=\frac{1-\lambda^{2}}{1+\lambda^{2}}+\frac{2 \lambda}{1+\lambda^{2}} i\) mit \(\lambda \in \mathbb{R}\) darstellen.