Problem 15
a) Man betrachte die Abbildung $$ f: \mathrm{C}^{*} \rightarrow \mathrm{C} \text { mit } f(z)=1 / \bar{z} $$ Man gebe eine geometrische Konstruktion (Zirkel und Lineal) für den Bildpunkt \(f(z)\) und begrinde, warum diese Abbildung „Transformation durch reziproke Radien" oder „Spiegelung an der Binheitskreislinie" genannt wird. Man bestimme jeweils das Bild unter \(f\) von \alpha) \(D_{1}:=\\{z \in \mathrm{C} ; \quad 0<|z|<1\\}\), (3) \(D_{2}:=\\{z \in \mathbf{C} ; \quad|z|>1\\}\) \gamma) \(D_{3}:=\\{z \in \mathrm{C} ; \quad|z|=1\\}\) b) Jetat betrachte man die Abbildung $$ g: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathrm{C} \text { mit } g(z)=1 / z(=\overline{f(z)}) $$ und gebe ebenfalls eine geometrische Konstruktion far den Bildpunkt \(g(z)\) von 2. Warum heißt diese Abbildung „Inversion an der Einheitskreislinie"?
Problem 16
Sei \(n \in \mathrm{N}\) und \(W(n)=\left\\{z \in \mathbb{C} ; z^{n}=1\right\\}\)
die Menge der \(n\)-ten Einheitswurzeln. Man zeige:
a) \(W(n)\) ist cine Untergruppe von \(C^{*}\) (und damit selbst eine Gruppe).
b) \(W(n)\) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung \(n, d . h\). es gibt ein \(\zeta
\in W(n)\) mit
$$
W(n)=\left\\{\zeta^{*} ; \quad 0 \leq u
