Question

In Problems $\mathbf{8}\mathbf{}\mathbf{to}\mathbf{}\mathbf{15}$,use $\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{15}\mathbf{)}$ to show that the given functions are linearly independent.

$\mathbf{sin}\mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{cos}\mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{x}\mathbf{}\mathbf{sin}\mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{x}\mathbf{}\mathbf{cos}\mathbf{}\mathbf{x}$.

Short answer

The functions $\sin \mathrm{x},\cos \mathrm{x},\mathrm{x}\sin \mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{x}\cos \mathrm{x}$are linearly independent for all values of$\mathrm{x}$.

Step-by-step solution

Definition of linearly independent functions.

The functions ${\mathbf{f}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{,}{\mathbf{f}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{,}\mathbf{}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{,}{\mathbf{f}}_{\mathbf{n}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}$are linearly independent if the determine

$\mathit{W}\mathbf{=}\mathbf{\left|}\begin{array}{cccc}{\mathbf{f}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}& {\mathbf{f}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}& \mathbf{\cdots }& {\mathbf{f}}_{\mathbf{n}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\\ {\mathbf{f}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}& {\mathbf{f}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}& \mathbf{\cdots }& {\mathbf{f}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\\ \mathbf{⋮}& \mathbf{⋮}& \mathbf{\ddots }& \mathbf{⋮}\\ {\mathbf{f}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}& {\mathbf{f}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}& \mathbf{\cdots }& {\mathbf{f}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\end{array}\mathbf{\right|}\mathbf{\ne }\mathbf{0}$

Here, W is called the Wronksian of functions.

Use the Wronksian to show that the given functions are linearly independent.

Find the derivatives of the function ${\mathrm{f}}_1\left(\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x}$order $3$.

${\mathrm{f}}_1\left(\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_1}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\cos \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_1}^{"}\left(\mathrm{x}\right)=-\sin \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_1}^{"\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-\cos \mathrm{x}$

Find the derivatives of the function ${\mathrm{f}}_2\left(\mathrm{x}\right)=\cos \mathrm{x}$of order $3.$

${\mathrm{f}}_2\left(\mathrm{x}\right)=\cos \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_2}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-\sin \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_2}^{"}\left(\mathrm{x}\right)=-\cos \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_2}^{"\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x}$

Find the derivatives of the function ${\mathrm{f}}_3\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\sin \mathrm{x}$of order $3.$

${\mathrm{f}}_3\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\sin \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_3}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x}+\mathrm{x}\cos \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_3}^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=2\cos \mathrm{x}-\mathrm{x}\sin \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_3}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-3\sin \mathrm{x}-\mathrm{x}\cos \mathrm{x}$

Find the derivatives of the function ${\mathrm{f}}_4\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\cos \mathrm{x}$of order $3.$

${\mathrm{f}}_4\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\cos \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_4}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\cos \mathrm{x}-\mathrm{x}\sin \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_4}^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-2\sin \mathrm{x}-\mathrm{x}\cos \mathrm{x}$

${{\mathrm{f}}_4}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-3\cos \mathrm{x}+\mathrm{x}\sin \mathrm{x}$

Substitute the derivatives in the Wronksian formula and simply as follows:

$\mathrm{W}=\left|\begin{array}{cccc}\sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}& \mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ \cos \mathrm{x}& -\sin \mathrm{x}& \sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ -\sin \mathrm{x}& -\cos \mathrm{x}& 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ -\cos \mathrm{x}& \sin \mathrm{x}& -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|$

Solve the determinant as follows:

$\begin{array}{r}=\sin \mathrm{x}\left|\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{x}& \sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ -\cos \mathrm{x}& 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ \sin \mathrm{x}& -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|\\ -\cos \mathrm{x}\left|\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{x}& \mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ -\cos \mathrm{x}& 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ \sin \mathrm{x}& -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|\\ -\sin \mathrm{x}\left|\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{x}& \mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ -\sin \mathrm{x}& \sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ \sin \mathrm{x}& -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|\\ +\cos \mathrm{x}\left|\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{x}& \mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ -\sin \mathrm{x}& \sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ -\cos \mathrm{x}& 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\end{array}\right|\end{array}$

Further simply the above equation as follows:

$\begin{array}{r}\mathrm{W}=-{\sin }^2\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|+\sin \mathrm{xcos}\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|\\ +{\sin }^2\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\end{array}\right|-\cos \mathrm{xsin}\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\end{array}\right|\\ -\sin \mathrm{xcos}\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|-{\sin }^2\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ -3\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}& -3\cos \mathrm{x}+\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|\\ -{\sin }^2\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ \sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|+{\cos }^2\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\sin \mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\\ 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\end{array}\right|\\ +\cos \mathrm{x}\sin \mathrm{x}\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}& -2\sin \mathrm{x}-\mathrm{xcos}\mathrm{x}\end{array}\right|-{\cos }^2\mathrm{x}\left|\begin{array}{cc}\mathrm{xsin}\mathrm{x}& \mathrm{xcos}\mathrm{x}\\ 2\cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}+\mathrm{xcos}\mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-\mathrm{xsin}\mathrm{x}\end{array}\right|\end{array}$

Simplify further as follows:

$\begin{array}{r}\mathrm{W}={\sin }^2\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+6\right)-2\sin \mathrm{x}\cos \mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+2\right)+{\cos }^2\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+6\right)\\ -{\mathrm{x}}^2{\cos }^2\mathrm{x}+2\mathrm{xsin}\mathrm{x}\cos \mathrm{x}+2\sin \mathrm{x}\cos \mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2{\sin }^2\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2{\sin }^2\mathrm{x}\\ -{\cos }^2\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+2\right)-2\mathrm{xsin}\mathrm{xcos}\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2{\cos }^2\mathrm{x}\end{array}$

$={\sin }^2\mathrm{x}({\mathrm{x}}^6+6-{\mathrm{x}}^2-2)+{\cos }^2\mathrm{x}({\mathrm{x}}^2+6-{\mathrm{x}}^2-2)$

$={\sin }^2\mathrm{x}\left(4\right)+{\cos }^2\mathrm{x}\left(4\right)$

$=4({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x})$

$=4$

Therefore, the functions $\sin \mathrm{x},\cos \mathrm{x},\mathrm{x}\sin \mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{x}\cos \mathrm{x}$are linearly independent.