Question

Because the three-dimensional harmonic oscillator potential (Equation 4.188)is spherically symmetric, the Schrödinger equation can be handled by separation of variables in spherical coordinates, as well as cartesian coordinates. Use the power series method to solve the radial equation. Find the recursion formula for the coefficients, and determine the allowed energies. Check your answer against Equation4.189.

Short answer

The allowed energy is$\left(\mathrm{N}+\frac{3}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega }.$

Step-by-step solution

Definition of matrix.

A matrix is a rectangular array or table of numbers, symbols, or expressions that are organised in rows and columns to represent a mathematical object or an attribute of that item.

The recursion formula for the coefficients and the allowed energies.

The general radial equation is

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dr}}\left({\mathrm{r}}^2\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dr}}\right)\frac{-2{\mathrm{mr}}^2}{{\mathrm{h}}^2}\left[\mathrm{V}\left(\mathrm{r}\right)-\mathrm{E}\right] \\ \mathrm{Take} \\ \mathrm{u}\left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{rR}\left(\mathrm{r}\right) \\ \mathrm{R}=\frac{\mathrm{u}\left(\mathrm{r}\right)}{\mathrm{r}} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dr}}=\left[\mathrm{r}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dr}}-\mathrm{u}\right]\frac{1}{{\mathrm{r}}^2} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dr}}\left[{\mathrm{r}}^2\left(\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dr}}\right)\right]=\mathrm{r}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{dr}}^2} \\ \mathrm{Equation}\mathrm{becomes}, \\ \frac{-{\sout{\mathrm{h}}}^2}{2\mathrm{m}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{dr}}^2}+\left[\mathrm{V}+\frac{{\sout{\mathrm{h}}}^2}{2\mathrm{m}}\frac{\mathrm{I}\left(\mathrm{I}+1\right)}{{\mathrm{r}}^2}\right]\mathrm{u}=\mathrm{Eu} \\ \mathrm{The}\mathrm{above}\mathrm{equation}\mathrm{becomes} \\ \frac{-{\sout{\mathrm{h}}}^2}{2\mathrm{m}}\frac{\mathrm{m\omega }}{\mathrm{h}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{d\xi }}^2}+\left[\frac{1}{2}{\mathrm{m\omega }}^2\frac{\sout{\mathrm{h}}}{\mathrm{m\omega }}{\mathrm{\xi }}^2+\frac{{\mathrm{h}}^2}{2\mathrm{m}}\frac{\mathrm{m\omega }}{\sout{\mathrm{h}}}\frac{\mathrm{I}\left(\mathrm{I}+1\right)}{{\mathrm{\xi }}^2}\right]\mathrm{u}=\mathrm{Eu} \\ \frac{-\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega }}{2}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{d\xi }}^2}+\left[\frac{1}{2}\sout{\mathrm{h}}{\mathrm{\omega \xi }}^2+\frac{\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega }}{2}\frac{\mathrm{I}\left(\mathrm{I}+1\right)}{{\mathrm{\xi }}^2}\right]\mathrm{u}=\mathrm{Eu} \\ \frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{d\xi }}^2}+\left[{\mathrm{\xi }}^2+\frac{\mathrm{I}\left(1+1\right)}{{\mathrm{\xi }}^2}\right]\mathrm{u}=\frac{2\mathrm{E}}{\mathrm{h\omega }}\mathrm{u} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{k}=\frac{2\mathrm{E}}{\mathrm{h\omega }} \\ -\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{d\xi }}^2}+\left[{\mathrm{\xi }}^2+\frac{\mathrm{I}\left(\mathrm{I}+1\right)}{{\mathrm{\xi }}^2}-\mathrm{k}\right]\mathrm{u}=0 \\ \frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{d\xi }}^2}=\left[{\mathrm{\xi }}^2+\frac{\mathrm{I}\left(\mathrm{I}+1\right)}{{\mathrm{\xi }}^2}-\mathrm{k}\right]\mathrm{u}...................\left(2\right) \\ \mathrm{At}\mathrm{large}\mathrm{\xi },\mathrm{the}\mathrm{last}\mathrm{two}\mathrm{terms}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{neglected}\mathrm{compared}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{term} \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{d\xi }}^2}={\mathrm{\xi }}^2\mathrm{u} \\ \mathrm{To}\mathrm{eliminate}\mathrm{the}\mathrm{divergence},\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{term}\mathrm{should}\mathrm{be}\mathrm{zero}. \\ \mathrm{At}\mathrm{\xi }\to 0,\mathrm{equation}\left(2\right)\mathrm{becomes} \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{u}}{{\mathrm{d\xi }}^2}=\frac{\mathrm{I}\left(\mathrm{I}+1\right)}{{\mathrm{\xi }}^2}\mathrm{u} \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{is} \\ \mathrm{u}\left(\mathrm{\xi }\right)={\mathrm{C\xi }}^{\mathrm{I}+1}+{\mathrm{D\xi }}^{-1} \\ \mathrm{However},\mathrm{at}\mathrm{\xi }=0,\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{term}\mathrm{blows}\mathrm{up}, \\ \mathrm{To}\mathrm{remove}\mathrm{divergence},\mathrm{take}\mathrm{D}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{u}\left(\mathrm{\xi }\right)={\mathrm{C\xi }}^{\mathrm{t}+1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{for}\mathrm{equation}\left(2\right)\mathrm{is}\mathrm{u}\left(\mathrm{\xi }\right)=\mathrm{v}\left(\mathrm{\xi }\right){\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{\xi }}^2}{2}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{f}+1} \\ \mathrm{Substituting}\mathrm{into}\mathrm{equation}\left(2\right)\mathrm{gives} \\ {\mathrm{V}}^{"}+2{\mathrm{V}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{I}+1}{\mathrm{\xi }}-\mathrm{\xi }\right)+\left(\mathrm{k}-2\mathrm{I}-3\right)\mathrm{v}=0 \\ \mathrm{To}\mathrm{solve}\mathrm{this}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{solution}\mathrm{method}, \\ \mathrm{Let} \\ \mathrm{v}\left(\mathrm{\xi }\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}} \\ {\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\xi }\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}-1} \\ {\mathrm{v}}^{"}\left(\mathrm{\xi }\right)=\sum _{\mathrm{n}=2}^{\infty }\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}-2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Using}\mathrm{these}\mathrm{expressions},\mathrm{equation}\left(3\right)\mathrm{becomes} \\ \sum _{\mathrm{n}=2}^{\infty }\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}-2}+2\left(\frac{\mathrm{I}+1}{\mathrm{\xi }}-\mathrm{\xi }\right)\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}-1}+\left(\mathrm{k}-21-3\right)\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}=0 \\ \sum _{\mathrm{n}=2}^{\infty }\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}-2}+2\left(\mathrm{I}+1\right)\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}-2}-2\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}+\left(\mathrm{k}-21-3\right)\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}=0 \\ \mathrm{Changing}\mathrm{the}\mathrm{dummy}\mathrm{index}\mathrm{to}\mathrm{proper}\mathrm{power}, \\ \Rightarrow \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+2\right)\left(\mathrm{n}+1\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}+2\left(\mathrm{I}+1\right)\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\left(\mathrm{n}+2\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}-2\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}+\left(\mathrm{k}-21-3\right)\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{By}\mathrm{taking}{\mathrm{a}}_1=0\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{term},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \Rightarrow \sum _{\mathrm{n}-0}^{\infty }\left(\mathrm{n}+2\right)\left(\mathrm{n}+1+2\mathrm{I}+2\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{n}-0}^{\infty }\left(2\mathrm{n}+2\mathrm{I}+3-\mathrm{k}\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\xi }}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{Comparing}\mathrm{the}\mathrm{cofficients}, \\ \left(\mathrm{n}+2\right)\left(\mathrm{n}+2\mathrm{I}+3\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}=\left(2\mathrm{n}+2\mathrm{I}+3-\mathrm{k}\right){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}=\frac{\left(2\mathrm{n}+2\mathrm{I}+3-\mathrm{k}\right)}{\left(\mathrm{n}+2\right)\left(\mathrm{n}+2\mathrm{I}+3\right)}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{terminate}\mathrm{the}\mathrm{series},\mathrm{the}\mathrm{maximum}\mathrm{of}\mathrm{n}\mathrm{should}\mathrm{exist}\mathrm{after}\mathrm{which}\mathrm{the}\mathrm{cofficients} \\ \mathrm{become}0. \\ \mathrm{Such}\mathrm{that} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}+2=0 \\ 2{\mathrm{n}}_{\max }+2\mathrm{I}+3-\mathrm{k}=0 \\ \mathrm{k}=2{\mathrm{n}}_{\max }+2\mathrm{I}+3 \\ \mathrm{From}\mathrm{k}=\frac{2\mathrm{E}}{\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega }}, \\ \mathrm{E}=\frac{1}{2}\mathrm{h\omega k} \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega }\left(2{\mathrm{n}}_{\max }+2\mathrm{I}+3\right){\mathrm{n}}_{\max }+\mathrm{I} \\ =\mathrm{n} \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}=\frac{\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega }}{2}\left(2\mathrm{n}+3\right) \\ =\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega }\left(\mathrm{n}+\frac{3}{2}\right) \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{n}+\frac{3}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{\omega } \end{gathered}$$