Question

Ein finites Balkenelement der Länge \(\ell\) werde durch eine Lastverteilung \(\mathrm{q}=\mathrm{q}(\mathrm{x})\) zwischen den Knotenpunkten (1) und (2) belastet. Man ermittle allgemein die energie-äquivalenten Knotenbelastungen.

Short answer

Die energie-äquivalenten Knotenbelastungen sind \( f_1 = \int_0^{\ell} q(x) N_1(x) \, dx \) und \( f_2 = \int_0^{\ell} q(x) N_2(x) \, dx \).

Step-by-step solution

Schritt 1 - Definition des Problems

Das Problem bezieht sich auf die Berechnung der energie-äquivalenten Knotenbelastungen eines Balkenelements der Länge \( \ell \), belastet durch eine Lastverteilung \( q = q(x) \).

Schritt 2 - Herleitung der Gleichung für Knotenbelastungen

Die energie-äquivalenten Knotenbelastungen \( f_1 \) und \( f_2 \) können durch Integrale über die Lastverteilung bestimmt werden. Die Arbeit einer verteilten Last \( q(x) \) entspricht der Arbeit der Knotenkräfte \( f_1 \) und \( f_2 \).

Schritt 3 - Berechnung der Arbeit der verteilten Last

Die Arbeit der verteilten Last \( q(x) \) wird durch das Integral \(\frac{1}{2} \int_0^{\ell} q(x) w(x) \, dx \) gegeben, wobei \( w(x) \) die Verschiebung ausdrückt.

Schritt 4 - Berechnung der Arbeit der Knotenkräfte

Die Arbeit der Knotenkräfte \( f_1 \) und \( f_2 \) wird durch \( \frac{1}{2}(f_1 w_1 + f_2 w_2) \) ausgedrückt, wobei \( w_1 \) und \( w_2 \) die Verschiebungen an den Knotenpunkten sind.

Schritt 5 - Gleichsetzen der Arbeiten

Setze die Arbeit der verteilten Last gleich der Arbeit der Knotenkräfte: \( \frac{1}{2} \int_0^{\ell} q(x) w(x) \, dx = \frac{1}{2}(f_1 w_1 + f_2 w_2) \).

Schritt 6 - Bestimmung der Knotenkräfte

Isoliere die Knotenkräfte \( f_1 \) und \( f_2 \) durch das Auflösen der Gleichung für \( f_1 \) und \( f_2 \): \( f_1 = \int_0^{\ell} q(x) N_1(x) \, dx \) und \( f_2 = \int_0^{\ell} q(x) N_2(x) \, dx \), wobei \( N_1(x) \) und \( N_2(x) \) die Formfunktionen sind.

Schritt 7 - Allgemeine Form

Die energie-äquivalenten Knotenbelastungen sind somit \( f_1 = \int_0^{\ell} q(x) N_1(x) \, dx \) und \( f_2 = \int_0^{\ell} q(x) N_2(x) \, dx \).

Key concepts

energie-äquivalente Knotenbelastungen

Die energie-äquivalenten Knotenbelastungen sind entscheidend in der Balkenanalyse mit der Finite-Elemente-Methode (FEM). Sie entsprechen den Kräften an den Knotenpunkten, die die gleiche Arbeit verrichten wie die tatsächliche Lastverteilung entlang des Balkens.
Diese Kräfte werden durch Integrale über die Lastverteilung bestimmt. Um die energie-äquivalenten Knotenbelastungen zu berechnen, beginnt man mit der Herleitung der allgemeinen Gleichung. Diese setzt die Arbeit der verteilten Last gleich der Arbeit der Knotenkräfte:
\[ \frac{1}{2} \int_0^{\ell} q(x) w(x) \, dx = \frac{1}{2}(f_1 w_1 + f_2 w_2) \].
Hierbei steht \( q(x) \) für die Lastverteilung und \( w(x) \) für die Verschiebung als Funktion der Position \( x \). Die Knotenkräfte \( f_1 \) und \( f_2 \) entsprechen der Arbeit der Knotenverschiebungen \( w_1 \) und \( w_2 \).

Lastverteilung

Die Lastverteilung \( q(x) \) beschreibt, wie die externe Kraft entlang des Balkenlängen \( \ell \) aufgebracht wird. Dies kann unterschiedliche Formen annehmen, wie gleichmäßig verteilter Last, linear veränderlicher Last oder sogar kompliziertere Verteilungen.
In der Finite-Elemente-Methode ist es wichtig zu wissen, wie diese Lastverteilung auf die Knotenpunkte verteilt wird. Das Ziel ist, die gesamte externe Last durch äquivalente Knotenkräfte \( f_1 \) und \( f_2 \) am Anfang und Ende des Elements zu ersetzen, damit die Strukturmodelle durch einfache Kräfte analysiert werden können.
Für die Berechnung wird die Arbeit der verteilten Last in Form eines Integrals ausgedrückt:
\[ \frac{1}{2} \int_0^{\ell} q(x) w(x) \, dx \].
Hier steht \( w(x) \) für die Verschiebung als Funktion von \( x \), und dieses Integral repräsentiert die gesamte Arbeit, die durch die verteilte Last \( q(x) \) geleistet wird.

Knotenkräfte

Die Knotenkräfte sind die Kräfte, die am Anfang (Knotenpunkt 1) und am Ende (Knotenpunkt 2) des Balkenelements wirken. Sie ersetzen die tatsächlich verteilte Last durch äquivalente Knotenlasten, die dieselben Auswirkungen auf das System haben.
Die Kräfte \( f_1 \) und \( f_2 \) können durch die folgende Integrale berechnet werden:
\[ f_1 = \int_0^{\ell} q(x) N_1(x) \, dx \] und \[ f_2 = \int_0^{\ell} q(x) N_2(x) \, dx \].
Die Formfunktionen \( N_1(x) \) und \( N_2(x) \) repräsentieren die Verteilungsform und stellen sicher, dass die gesamte Last korrekt auf die beiden Knotenpunkte verteilt wird.
Diese Knotenkräfte sind wichtig, da sie ermöglichen, die komplexe Belastung des Balkens in einem vereinfachten Modell darzustellen, das einfacher zu berechnen und zu analysieren ist.

Formfunktionen

Formfunktionen sind spezielle Funktionen, die in der Finite-Elemente-Methode verwendet werden, um die Verteilung einer Last oder einer Verschiebung entlang eines Elements zu beschreiben. Sie stellen sicher, dass die Eigenschaften des Elements korrekt von Knoten zu Knoten interpoliert werden.
Im Kontext der Balkenanalyse wird \( N_1(x) \) als Formfunktion am Anfang des Balkens und \( N_2(x) \) am Ende des Balkens verwendet. Die allgemeinen Integrale zur Bestimmung der Knotenkräfte \( f_1 \) und \( f_2 \) beinhalten diese Funktionen:
\[ f_1 = \int_0^{\ell} q(x) N_1(x) \, dx \] und \[ f_2 = \int_0^{\ell} q(x) N_2(x) \, dx \].
Diese Formfunktionen sind essentiell, da sie die Transformation der kontinuierlichen Lastverteilung in äquivalente Knotenlasten ermöglichen. Dies reduziert die Komplexität und macht die mathematische Bearbeitung der Strukturanalyse durch die Finite-Elemente-Methode effizienter.