Question

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$mit der Funktion $f\left(x\right)=(2x+3)e^{-0,5x}$.

4.1

Zeige, dass die Funktion $F$mit $F\left(x\right)=(-4x-14)e^{-0,5x}$eine Stammfunktion von $f$ist.

4.2

Untersuche, ob für jede reelle Zahl$k>0$gilt:${\int }_0^{k}f\left(x\right)dx<14$

Short answer

4.1

Wegen $$\begin{gathered} F\text{'}\left(x\right)=-4·e^{-0,5x}+(-4x-14)·(-0,5)·e^{-0,5x} \\ =--4·e^{-0,5x}+(2x+7)·e^{-0,5x}=(2x+3)·e^{-0,5x}=f\left(x\right) \end{gathered}$$ist F eine Stammfunktion von $f$.

4.2

Es ist $$\begin{gathered} {\int }_0^{k}f\left(x\right)dx=F\left(k\right)-F\left(0\right)=(-4k-14)·e^{-0,5k}-(-4·0-14)·e^{-0,5·0} \\ =(-4k-14)·e^{-0,5k}+14 \end{gathered}$$.

Für jede Zahl $k>0$ist role="math" localid="1644243639281" $-4k-14$negativ und $e^{-0,5k}$positiv. Somit ist das Produkt dieser beiden Terme stets negativ.

Die zu untersuchende Aussage ist daher wahr.

Step-by-step solution

Ausführliche Lösung zu 4.1

$F\left(x\right)=(-4x-14)·e^{-0,5x}$

$F\text{'}\left(x\right)=(-4)·e^{-0,5x}·(-0,5)$

Vereinfache den Term, bis du $f\left(x\right)$erhältst.

$$\begin{gathered} =-4e^{-0,5x}+(-4x-14)·(-0,5)·e^{-0,5x} \\ =-4e^{-0,5x}+(2x+7)·e^{-0,5x} \\ =-4e^{-0,5x}+2x{e}^{-0,5x}+7e^{-0,5x} \\ =2x{e}^{-0,5x}+3e^{-0,5x}\to e^{-0,5x}ausklammern \\ =(2x+3)·e^{-0,5x}=f\left(x\right) \end{gathered}$$

Also ist F eine Stammfunktion von$f$.

Ausführliche Lösung zu 4.2

Aus 4.1 ist bekannt, dass $F\left(x\right)=(-4x-14)·e^{-0,5x}$eine Stammfunktion von $f$ist.

Man berechnet zuerst das angegebene bestimmte Integral und zeigt danach, dass der Wert für jedes k > 0 kleiner als 14 ist.

$$\begin{gathered} {\int }_0^{k}f\left(x\right)dx\hspace{0.17em}=F\left(k\right)-F\left(0\right) \\ =(-4·k-14)·e^{-0,5k}-(-4·0-14)·e^{-0,5·0} \\ =(-4k-14)·e^{-0,5k}-(0-14)·e^0 \\ =(-4k-14)·e^{-0,5k}+14<14 \end{gathered}$$