Question

Es gibt die Funktion $f$mit den folgenden Eigenschaften:

1. $f\left(0\right)=2$
   
2. $f\text{'}(-1)=0$und $f\text{'}\text{'}(-1)<0$
   

3.1

Zeichne den Graphen einer Funktion mit diesen Eigenschaften in ein Koordinatensystem.

3.2

Eine der Funktionen mit den obigen Eigenschaften hat den Funktionsterm $-0,5x^4+bx+c$.

Bestimme die Werte von$b$und$c$.

Short answer

Lösung 3.1

Der Punkt $\left(0\right|2)$muss auf dem Graphen liegen. Der Graph muss an der Stelle $x=-1$einen Hochpunkt besitzen.

Lösung 3.2

Es ist $2=f\left(0\right)=c$.

Mit$f\text{'}\left(x\right)=-2x^3=-2x^3+b$ist $0=f\text{'}(-1)=-2·{(-1)}^3+b=2+b\iff b=-2$.

Step-by-step solution

Ausführliche Lösung 3.1

Zeichne im ersten Schritt den Punkt $\left(0\right|2)$in das Koordinatensystem ein.

Aus den gegebenen Informationen weißt du, dass der Graph an der Stelle $x=-1$einen Hochpunkt besitzt. Da die y-Koordinate dieses Hochpunkts nicht gegeben ist, kann diese frei gewählt werden. Am einfachsten ist hier eine nach unten geöffnete Parabel.

Ausführliche Lösung 3.2

Zur besseren Übersicht wird hier die Funktion mit $f$bezeichnet:

$f\left(x\right)=-0,5x^4+bx+c$

Für die Ableitung erhält man:

$f\text{'}\left(x\right))-0,5·4x^3+b=-2x^3+b$

Die gesuchte Funktion soll die gegebenen Eigenschaften besitzen. Daher muss gelten:

1. $f\left(0\right)=2\iff -0,5·0^4+b·0+c=2\iff c=2$
   
2. $$\begin{gathered} f\text{'}(-1)=0\to \\ -2·{(-1)}^3+b=0 \\ -2·(-1)+b=0 \\ 2+b=0 \\ b=-2 \end{gathered}$$

Damit erhält man folgenden Funktionsterm:

$f\left(x\right)=-0,5x^4-2x+2$