Question

Gegeben ist die Funktion $f$mit $f\left(x\right)=\hspace{0.17em}4x^3-12x$.

Zeigen Sie, dass $x=1$eine lokale Minimalstelle von $f$ist.

Short answer

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=12x^2-12 \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=24x \end{gathered}$$

Wegen$f\text{'}\left(1\right)=\hspace{0.17em}0$und$f\text{'}\text{'}\left(1\right)=24>0$ist$x=1$eine lokale Minimalstelle.

Step-by-step solution

Ausführliche Lösungsschritte

$f\left(x\right)=4x^3-12x$

Bilde die 1. und die 2. Ableitung. Beachte dabei die Summen- und Faktorregel für ganzrationale Funktionen.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4·3x^2-12=12x^2-12 \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12·2x=24x \end{gathered}$$

Die 1. Ableitung beschreibt das Steigungsverhalten des Graphen von $f$und die 2. Ableitung gibt das Krümmungsverhalten des Graphen von $f$an.

Hier soll gezeigt werden, dass bei $x=1$eine Minimumstelle liegt, d.h. es muss bei $x=1$ein Tiefpunkt vorliegen.

Überprüfe, ob die Bedingungen für einen Tiefpunkt erfüllt sind:

1. $f\text{'}\left(1\right)=0$
2. $f\text{'}\text{'}\left(1\right)>0\to$ Linkskrümmung

Setze also jeweils $x=1$in $f\text{'}$und $f\text{'}\text{'}$ein:

1. $f\text{'}\left(1\right)=12·1^2-12=12-12=0\to$ Bedingung erfüllt
2. $f\text{'}\text{'}\left(1\right)=\hspace{0.17em}24·1=24>0\to$Bedingung erfüllt

Damit hast du gezeigt, dass $x=1$eine Minimumstelle von $f$ist.

Alternative:

Anstelle der 2. Ableitung kann auch eine Monotonietabelle angefertigt werden. Dann wird die 2. Ableitung nicht benötigt.