Problem 1
Bestimmen Sie mit Hilfe des Separationsansatzes Lösungen \(u(x, y)\) bzw. \(u(x, t)\) für die partiellen Differentialgleichungen (a) \(u_{x x}=4 u_{y}, u(0, y)=u(\pi, y)=0\), (b) \(a^{2} u_{x x}=u_{t t}, a>0\).
Problem 3
Transformieren Sie die Differentialgleichung $$ \begin{array}{r} u_{x x}-u_{y y}=0 \text { für }\left|x^{2}-y^{2}\right| \leq 1 \\ u(x, y)=x^{2}+y^{2} \text { für }\left|x^{2}-y^{2}\right|=1 \end{array} $$ auf Hyperbelkoordinaten. Hinweis: Hyperbelkoordinaten sind durch die Transformation $$ \mathbf{x}(\rho, \phi)=\left(\begin{array}{l} x(\rho, \phi) \\ y(r, \phi) \end{array}\right):=\left(\begin{array}{c} \rho \cosh \phi \\ \rho \sinh \phi \end{array}\right) $$ gegeben.
Problem 5
Bestimmen Sie eine divergenzfreie Lösung \(\mathbf{u}(x, y)=(u(x, y), v(x,
y))\), d.h. \(\operatorname{div} \mathbf{u}=0\), des
Differentialgleichungssystems
$$
\begin{aligned}
u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}
&=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{1}{R e} \Delta u \\
u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}
&=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{1}{R e} \Delta v
\end{aligned}
$$
in einem Rechteckgebiet \(\Omega=\\{(x, y) \mid 0
Problem 6
Zeigen Sie, dass für ein 3-mal stetig differenzierbares divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld \(\mathbf{u}=(u, v)\) aus den instationären STOKES- Gleichungen $$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=-\operatorname{grad} p+\frac{1}{R e} \Delta \mathbf{u} $$ für den Druck die Gleichung \(\Delta p=0\) folgt.
Problem 7
Zeigen Sie, dass für eine zweimal stetig differenzierbare Lösung \(u(x, y)\) des Randwertproblems $$ -\Delta u=f \quad \text { in } \Omega, \quad u=0 \quad \operatorname{auf} \Gamma_{d}, \quad \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=q \quad \operatorname{auf} \Gamma_{n} $$ die Integralgleichung $$ \int_{\Omega}[\nabla u \cdot \nabla h-f h] d F-\int_{\Gamma_{n}} q h d s=0 $$ gilt, wobei \(f, q\) gegebene, integrierbare Funktionen sind und \(\Gamma=\Gamma_{d} \cup \Gamma_{n}, \Gamma_{d} \cap\) \(\Gamma_{n}=\emptyset\), der Rand von \(\Omega\) ist. \(h\) sei stetig differenzierbar und auf \(\Gamma_{d}\) gleich Null. \(\frac{\partial}{\partial \mathrm{n}}\) bezeichnet die Ableitung in Richtung der äußeren Normalen auf dem Rand \(\operatorname{von} \Omega\).
