Problem 2
Berechnen Sie die Länge der Kurve, $$ \gamma(t)=\left(t, e^{t}, 2\right)^{T}, t \in[0,4] $$
Problem 4
Überprüfen Sie das Vektorfeld $$ \mathbf{w}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y z \cos (x y z)+2 x z \\ x z \cos (x y z)+2 y z^{2} \\ x y \cos (x y z)+x^{2}+2 y^{2} z \end{array}\right) $$ auf die Potentialfeldeigenschaft und berechnen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion.
Problem 5
Zeigen Sie, dass die folgenden Vektorfelder \(\mathbf{v}: G \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) eine symmetrische JACOBI-Matrix haben, aber keine Gradientenfelder in \(G\) sind. Woran liegt das? \((a) \mathbf{v}(x, y, z)=\frac{c}{x^{2}+y^{2}}\left(\begin{array}{c}-y \\ x \\\ 0\end{array}\right), \quad G=\left\\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid(x, y) \neq(0,0)\right\\}\) (b) \(\quad \mathbf{w}(x, y)=\left(\frac{\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+y}{x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}}\right), \quad G=\left\\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x, y) \neq(0,0)\right\\}\)
Problem 8
Berechnen Sie das vektorielle Kurvenintegral des Vektorfeldes $$ \mathbf{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y e^{x y} \\ x e^{x y} \\ z^{2} \end{array}\right) \text { entlang der Kurve } \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin ^{2} t \\ t^{2} \sin t \cos t \end{array}\right), t \in[0,2 \pi] $$
Problem 9
Berechnen Sie das vektorielle Kurvenintegral des Vektorfeldes $$ \mathbf{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y e^{x y} \\ x e^{x y} \\ z^{2} \end{array}\right) \text { entlang der Kurve } \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin ^{2} t \\ t^{2} \sin t \cos t \end{array}\right), t \in[0,2 \pi] $$
Problem 10
Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes \(\mathbf{v}(x, y, z)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, 2\right)^{T}\) entlang der Schraubenlinie $$ \gamma(t)=(\cos t, \sin t, t)^{T}, t \in[0,2 \pi] $$
Problem 11
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von GAUSS das Flussintegral \(\int_{\partial B} \mathbf{v} \cdot \mathbf{d O}\) (a) für das Vektorfeld $$ \mathbf{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y^{2} \\ x z^{3} \\ (z-1)^{2} \end{array}\right) $$ und den Bereich \(B\), der vom Zylinder \(z^{2}+y^{2}=4\) und den Flächen \(z=1\) und \(z=5\) berandet wird, und (b) für das Vektorfeld $$ \mathbf{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{l} x^{2} \\ y^{3} \\ z^{3} \end{array}\right) $$
Problem 13
Der Bereich \(B\) aus dem 1. Quadranten \((x \geq 0, y \geq 0)\) des \(\mathbb{R}^{2}\) wird durch die Kurven $$ y=3-x^{2}, \quad y=x^{2}+1 \quad \text { und } \quad x=0 $$ begrenzt. Berechnen Sie das Integral $$ \int_{B} \frac{x}{\sqrt{y}} d F $$
Problem 14
Der Bereich \(B\) aus dem 1. Quadranten \((x \geq 0, y \geq 0)\) des \(\mathbb{R}^{2}\) wird durch die Kurven $$ y=3-x^{2}, \quad y=x^{2}+1 \quad \text { und } \quad x=0 $$ begrenzt. Berechnen Sie das Integral $$ \int_{B} \frac{x}{\sqrt{y}} d F $$
