Problem 2
Berechnen Sie die Länge der Kurve $$ \gamma(t)=\left(t, e^{t}, 2\right)^{T}, t \in[0,4] $$
Problem 3
Berechnen Sie das skalare Kurvenintegral der Funktion \(f(x, y, z)=\frac{x^{2}-y}{z}\) entlang dem Nordpolarkreis (arctic circle, geographische Breite \(\phi_{n}=67,5^{\circ}\), wobei der Äquator und der Nordpol die geographische Breite \(0^{\circ}\) bzw. \(90^{\circ}\) haben). Dabei nehmen wir die Erde als Kugel mit dem Radius \(r=6400 \mathrm{~km}\) an.
Problem 4
Überprüfen Sie das Vektorfeld $$ \mathbf{w}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y z \cos (x y z)+2 x z \\ x z \cos (x y z)+2 y z^{2} \\ x y \cos (x y z)+x^{2}+2 y^{2} z \end{array}\right) $$ auf die Potentialfeldeigenschaft und berechnen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion.
Problem 6
Berechnen Sie das Arbeitsintegral des Vektorfeldes \(\mathbf{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathbf{v}(x, y, z)=\) \(\left(2 x y+z^{3}, x^{2}, 3 z^{2} x\right)^{T}\) längs des Kurvenstücks \(\gamma(t)=(t, 1-t, 1)^{T}, 0 \leq t \leq 1\)
Problem 7
Berechnen Sie die Arbeit, die Sie verrichten müssen, um in einem fahrenden Zug, der in 10 Sekunden gleichmäßig von 0 auf \(120 \frac{k m}{h}\) beschleunigt, in einer Zeit von maximal 10 Sekunden \(10 \mathrm{~m}\) in Fahrtrichtung zu gehen. Dabei gehen wir davon aus, dass Sie eine Masse von \(75 \mathrm{~kg}\) haben. Hinweis: Egal ob Sie die \(10 \mathrm{~m}\) in einer, fünf oder zehn Sekunden zurücklegen. Die verrichtete Arbeit ist gleich.
Problem 8
Berechnen Sie das vektorielle Kurvenintegral des Vektorfeldes $$ \mathbf{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y e^{x y} \\ x e^{x y} \\ z^{2} \end{array}\right) \text { entlang der Kurve } \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin ^{2} t \\ t^{2} \sin t \cos t \end{array}\right), t \in[0,2 \pi] $$
Problem 9
Überprüfen Sie, ob das Vektorfeld \(\mathbf{v}(x, y, z)=(y, z, x)^{T}\) ein Vektorpotential besitzt und berechnen Sie gegebenenfalls ein Vektorpotential \(\mathrm{w}\) von \(\mathrm{v}\).
Problem 10
Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes \(\mathbf{v}(x, y, z)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, 2\right)^{T}\) entlang der Schraubenlinie $$ \gamma(t)=(\cos t, \sin t, t)^{T}, t \in[0,2 \pi] $$
