Problem 1
Man weise nach, dass man die TSCHEBYSCHEWsche Ungleichung (14.43) nicht verschärfen kann. Hinweis: Man kann dazu z.B. zeigen, dass es mindestens eine Zufallsgröße \(X\) mit \(E(X)=m_{1}, E\left\\{[X-E(X)]^{2}\right\\}=\sigma^{2}>0\) gibt, so dass für mindestens ein positives \(k\) $$ P\left\\{\left|X-m_{1}\right| \geq k \sigma\right\\}=\frac{1}{k^{2}} $$ gilt. Man überlege sich, dass bei beliebigem \(q \geq 1\) die diskrete Zufallsgröße \(X\) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $$ P\\{X=-q\\}=\frac{1}{2 q^{2}}, P\\{X=0\\}=1-\frac{1}{q^{2}}, P\\{X=q\\}=\frac{1}{2 q^{2}} $$ diese Eigenschaft hat, und zwar für \(k=q\).
Problem 2
Ein Unternehmen stellt Kugeln mit einem Solldurchmesser von \(10 \mathrm{~mm}\) her. Durch unbeeinflussbare Störeinflüsse ist der Durchmesser \(d\) der produzierten Kugeln eine Zufallsgröße, die \(N(\mu, \sigma)\)-verteilt ist mit \(\mu=10 \mathrm{~mm}, \sigma=0,5 \mathrm{~mm}\). a) Ein Abnehmer akzeptiert nur Kugeln mit \(9,6 \mathrm{~mm} \leq d \leq 10,4 \mathrm{~mm}\). Wieviel Prozent der Kugeln werden von dem Abnehmer im Schnitt zurückgesandt? b) Wie groß darf die Standardabweichung \(\sigma\) von \(d\) höchstens sein, wenn der Hersteller erreichen will, dass derselbe Abnehmer mindestens \(80 \%\) der Kugeln akzeptiert?
Problem 3
Man weise nach, dass die Kovarianzmatrix der zweidimensionalen Normalverteilung genau dann positiv definit ist, wenn \(\rho^{2}<1\) für den Korrelationskoeffizienten \(\rho\) gilt.
Problem 4
Man zeige, dass für den Exponenten $$ Q^{2}=\frac{1}{\left(1-\rho^{2}\right)}\left[\left(\frac{x-m_{X}}{\sigma_{X}}\right)^{2}-2 \rho \frac{x-m_{X}}{\sigma_{X}} \frac{y-m_{Y}}{\sigma_{Y}}+\left(\frac{y-m_{Y}}{\sigma_{Y}}\right)^{2}\right] $$ in der Dichte \(p(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{X} \sigma_{Y} \sqrt{1-\rho^{2}}} e^{-\frac{1}{2} Q^{2}}\) der zweidimensionalen Normalverteilung gilt $$ Q ^ { 2 } = ( x - m _ { X } , y - m _ { Y } ) \underbrace {\left.{ (\begin{array}{cc} {\frac{1}{\left(1-\rho^{2}\right) \sigma_{X}^{2}}}{\frac{\rho}{\left(1-\rho^{2}\right) \sigma_{X} \sigma_{Y}}} & \frac{\rho}{\left(1-\rho^{2}\right) \sigma_{X} \sigma_{Y}} \\ \left(1-\rho^{2}\right) \sigma_{Y}^{2} \end{array}} \end{array}\right) }_{AA $$ Man weise nach, dass die Matrix \(A\) die Inverse der Kovarianzmatrix $$ K=\left(\begin{array}{cc} \sigma_{X}^{2} & \rho \sigma_{X} \sigma_{Y} \\ \rho \sigma_{X} \sigma_{Y} & \sigma_{Y}^{2} \end{array}\right) $$ ist und dass \(\frac{1}{2 \pi \sigma_{X} \sigma_{Y} \sqrt{1-\rho^{2}}}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{\operatorname{det}(K)}}\) gilt. Welche Bedingung muß \(\rho\) erfüllen, damit \(K^{-1}\) existiert?
Problem 5
Für zwei benachbarte Grundstücke \(A\) und \(B\) werden täglich \(X\) bzw. \(Y
\mathrm{~m}^{3}\) Wasser zur Pflege der Pflanzen verbraucht. Die Zufallsgrößen
\(X, Y\) genügen einer gemeinsamen Normalverteilung mit \(m_{X}=m_{Y}=2 m^{3},
\sigma_{X}=\sigma_{Y}=\) \(015 \mathrm{~m}^{3}, \rho=0,6\). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(Y\) in einem bestimmten Intervall \(\left[y_{1},
y_{2}[\right.\) liegt, wenn wir wissen, dass auf dem Grundstück A eine
bestimmte Menge \(X=x\) Wasser verbraucht wird? Gesucht ist also die bedingte
Wahrscheinlichkeit
$$
P\left\\{y_{1} \leq Y
