Problem 1
Die Physiker RUTHERFORD und GEIGER untersuchten die Emission von \(\alpha\)
Teilchen aus einer radioaktiven Substanz. Die Anzahl \(X\) der
\(\alpha\)-Teilchen, die in einem bestimmten Zeitintervall emittiert werden, ist
eine diskrete Zufallsgröße. RUTHERFORD und GEIGER stellten fest, dass die
Zufallsgröße \(X\) für Zeitintervalle der Länge 7,5 Sekunden die 11 Werte \(0,1,
\ldots, 10\) annehmen kann. Es wurde eine Stichprobe vom Umfang \(n=2608\)
untersucht, d.h. es wurden die Werte von \(X\) in 26087,5 -Sekunden-Intervallen
experimentell ermittelt. Die Anzahl der Zeitintervalle, in denen \(X\) den Wert
\(i(i=0,1, \ldots, 10)\) angenommen hat, sei \(n_{i} .\) Es ist \(\sum_{i=0}^{10}
n_{i}=n=2608\).
\begin{tabular}{lcccccccccccc}
\hline\(i\) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \\
\hline\(n_{i}\) & 57 & 203 & 383 & 525 & 532 & 408 & 273 & 139 & 45 & 27 & 16 &
\(n=2608\) \\
\hline
\end{tabular}
(a) Man bestimme die empirische Häufigkeitsverteilung \(\left(i,
\frac{n_{i}}{n}\right)\).
(b) Man berechne die Summenhäufigkeiten \(s_{i}\) und die empirische
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion \(f(x)\) (Schätzung für die
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion \(P\\{X
Problem 1
Berechnen Sie die FRÉCHET-Ableitung des Funktionals $$ f(u)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos u(\phi) d \phi $$ wobei \(f\) auf dem BANACH-Raum der stetigen Funktionen \(u(\phi)\) über dem Intervall \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) mit der Maximum-Norm definiert ist.
Problem 3
Bestimmen Sie stationäre Punkte \(x(t)\) mit \(x(0)=1\) und \(x(2)=2\) des Funktionals $$ J(x)=\int_{0}^{2}\left[\frac{1}{2} \dot{x}^{2}+x \dot{x}+\dot{x}\right] d t $$
Problem 3
Für einen zufälligen Vektor \((X, Y)\) wurden 11 Werte \(X=x_{i}\) eingestellt und dazu die Werte \(y_{i}\) der bedingten Zufallsgrößen \(\left(Y \mid X=x_{i}\right)\) gemessen: \begin{tabular}{cccccccccccc} \hline\(i\) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline\(x_{i}\) & \(-2\) & \(-1\) & \(-1\) & 0 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 4 & 5 \\ \hline\(y_{i}\) & \(-0,3\) & 0,8 & 1,2 & 1,9 & 3,0 & 4,5 & 3,9 & 5,4 & 6,1 & 6,2 & 6,8 \\ \hline \end{tabular} \((Y \mid X=x)\) sei vom Typ \(N\left(\beta_{0}+\beta_{1} x, \sigma\right)\) (a) Man bestimme mittels der angegebenen Stichprobe Schätzwerte für die \(\mathrm{Re}\) gressionskoeffizienten \(\beta_{0}, \beta_{1}\) sowie für \(\sigma^{2}\). (b) Man gebe Konfidenzintervalle für \(\beta_{0}, \beta_{1}\) zum Konfidenzniveau \(\alpha=0,05\) an. (c) Man prüfe die Hypothesen \((\alpha=0,05)\) \(H_{0}: \beta_{0}=2\) gegen \(\quad H_{1}: \beta_{0} \neq 2\) und \(H_{0}: \beta_{1}=1\) gegen \(\quad H_{1}: \beta_{0} \neq 1\)
Problem 4
Bestimmen Sie stationäre Punkte \(x(t)\) des Funktionals $$ J(x)=\int_{0}^{T} \sqrt{1+\dot{x}^{2}} d t $$ wobei \(x(0)=0\) und für das Intervallende \(T\) die Bedingung \(x(T)=r(T)=\frac{1}{T^{2}}\) gelten sollen.
Problem 5
Sei \(F\) eine Abbildung vom Raum der auf \([a, b]\) stetigen reellwertigen Funktionen \(C([a, b])\) (ausgestattet mit der Maximum-Norm) nach \(\mathbb{R}\) gegeben durch $$ y \mapsto F y, \quad F y=\int_{a}^{b} y(x) d x $$
Problem 5
\(X\) sei eine Zufallsgröße vom Typ \(N(\mu, 1) \cdot\left[\gamma_{u}, \gamma_{o}\right]\) sei ein konkretes \(100(1-\alpha) \%\) Konfidenzintervall für den Erwartungswert \(\mu ; L=\gamma_{o}-\gamma_{u}\). (a) Beweisen Sie, dass die Sicherheitswahrscheinlichkeit \(1-\alpha\) wächst, wenn man den Stichprobenumfang verdoppelt, die Intervall-Länge \(L\) aber beibehält. Auf welchen Wert steigt speziell die Sicherheitswahrscheinlichkeit \(1-\alpha=0,90\) bei Verdoppelung des Stichprobenumfangs? (b) Um wieviel muss man den Stichprobenumfang erhöhen, wenn bei konstanter Sicherheitswahrscheinlichkeit die Länge \(L\) halbiert werden soll?
Problem 6
Sei \(F\) eine Abbildung von \(C([a, b])\) nach \(C([a, b])\) und zwar konkret definiert durch $$ x \mapsto F x, \quad(F x)(t)=\int_{a}^{b} k(t, s) f(s, x(s)) d s $$ wobei \(k:[a, b] \times[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) stetig sein soll, und \(f:[a, b] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ebenfalls stetig ist und im zweiten Argument stetig differenzierbar sein soll. Zeigen Sie unter Nutzung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, dass \(F\) FRÉCHET- differenzierbar mit der FRÉCHET-Ableitung $$ \left(F^{\prime}(x) h\right)(t)=\int_{a}^{b} k(t, s) \frac{\partial f}{\partial x}(s, x(s)) h(s) d s $$ ist.
