Question

Lösen Sie mit Hilfe der LAPLACE-Transformation das Anfangswertproblem $$ y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)+y(x)=\sin (2 x)+\cos x, \quad y(\pi)=1, y^{\prime}(\pi)=0 $$ Hinweis: Führen Sie durch \(v(r):=y(r+\pi)\) eine neue gesuchte Funktion ein, die die Anfangsbedingungen \(v(0)=1, v^{\prime}(0)=0\) erfüllt.

Short answer

Use Laplace transforms on \( v'' - 2v' + v = \sin(2r) - \cos(r) \), then inverse transform to find \( y(x) \).

Step-by-step solution

Define the New Function

Introduce the new function as suggested: let \( v(r) = y(r + \pi) \). The initial conditions transform to \( v(0) = y(\pi) = 1 \) and \( v'(0) = y'(\pi) = 0 \).

Reformulate the Differential Equation

Substitute \( y(x) \) with \( v(r) = y(r + \pi) \) to transform the differential equation. This gives \( v''(r) - 2v'(r) + v(r) = \sin(2r + 2\pi) + \cos(r + \pi) \). Using periodic properties, this simplifies to \( v''(r) - 2v'(r) + v(r) = \sin(2r) - \cos(r) \).

Laplace Transform of the Equation

Apply the Laplace transform to the equation \( v''(r) - 2v'(r) + v(r) = \sin(2r) - \cos(r) \). Use the properties of Laplace transform: \( \mathcal{L}\{v''(r)\} = s^2V(s) - sv(0) - v'(0) \), \( \mathcal{L}\{v'(r)\} = sV(s) - v(0) \). Substitute to obtain: \ s^2V(s) - s - 0 - 2(sV(s) - 1) + V(s) = \frac{2}{s^2+4} - \frac{s}{s^2+1}.

Simplify and Solve for \( V(s) \)

Simplify the transformed equation: \ s^2V(s) - 2sV(s) + V(s) = \frac{2}{s^2+4} - \frac{s}{s^2+1} + s -2. Factor and solve for \( V(s) \): \ (s^2 - 2s + 1)V(s) = \frac{2}{s^2+4} - \frac{s}{s^2+1} + s -2. Solve for \( V(s) \) by isolating it on the left side.

Inverse Laplace Transform

Find the inverse Laplace transform of \( V(s) \) to obtain \( v(r) \). Use known inverse Laplace transforms and partial fraction decomposition if necessary.

Translate Back to \( y(x) \)

Recall \( v(r) = y(r + \pi) \). Once \( v(r) \) is determined, substitute \( r = x - \pi \) to express \( y(x) \).

Key concepts

Anfangswertproblem

Anfangswertprobleme, auch bekannt als Initial Value Problems (IVP), sind ein wesentlicher Bestandteil der Differentialgleichungen. Dabei wird der Wert einer Funktion und möglicherweise ihrer Ableitungen zu einem bestimmten Punkt vorgegeben. Im gegebenen Beispiel sieht das so aus:

• Die Funktion wird bei einem Punkt bewertet, z.B. bei \( x = \pi \), was einen Anfangswert von \(y(\pi) = 1\) ergibt.
• Zusätzlich gibt es Initialwerte für die Ableitungen, z.B. \(y'(\pi) = 0\).

Solche Anfangsbedingungen machen die Lösung einer Differentialgleichung spezifisch und ermöglichen es uns, eindeutige Lösungen zu finden. Durch die Verwendung der Anfangsbedingung kann man die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung maßschneidern, sodass sie dem spezifischen Problem entspricht. Dies ist entscheidend für viele Anwendungen in der Physik und der Technik, wo solche Probleme regelmäßig auftreten.

In diesem Fall werden die ursprünglichen Anfangsbedingungen durch eine Transformation auf \(v(0) = 1\) und \(v'(0) = 0\) umgewandelt. Diese Transformation vereinfacht das Lösen des Problems durch standardisierte Bedingungen, die für weiterführende Berechnungen nützlich sind.

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die Differenzialausdrücke enthält. Im Kontext des Beispiels besteht die Aufgabe darin, mit einer zweiten Ordnung lineare Differentialgleichungen zu arbeiten. Die ursprüngliche Gleichung ist:

• \(y^{\prime \prime}(x) - 2y^{\prime}(x) + y(x) = \sin (2x) + \cos x\)

Für die Bearbeitung der Aufgabe erfolgt eine Substitution, die die Ableitungen in Bezug auf eine neue Funktion umformt.
Durch die Transformation der Differentialgleichung in Bezug auf \(v(r) = y(r + \pi)\), wird das ursprüngliche Problem in eines mit sinus- und kosinus-basierten Periodizitäten überführt.

Das Anliegen bei Differentialgleichungen ist, die exakte Form der unbekannten Funktion zu finden, die diese Gleichung erfüllt. Solche Gleichungen finden sich überall in der Technik und den Naturwissenschaften, da sie oft Änderungen über Zeit oder Raum modellieren.

Laplace-Transformationsregel

Die Laplace-Transformation ist ein mächtiges Werkzeug in der Mathematik, speziell bei der Lösung von Differentialgleichungen. Sie wandelt Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen um, die einfacher zu bearbeiten sind.

• Ein Schlüssel ist die Anwendung der Regel zur Transformation der Ableitungen:
  • \(\mathcal{L}\{y''(r)\} = s^2V(s) - sV(0) - V'(0)\)
  • \(\mathcal{L}\{y'(r)\} = sV(s) - V(0)\)

Durch diese Transformationen werden die Ursprungsbedingungen in der transformierten Domäne berücksichtigt. Somit kann die gegebene Differentialgleichung mit den Laplace-Transformationsregeln in eine lösbare Gleichung umgeformt werden.

Das Umkehrverfahren, die inverse Laplace-Transformation, wird verwendet, um die Funktion aus dem Frequenzraum zurück in den Zeitraum zu bringen. Das hilft, spezifische Lösungen für unser ursprüngliches Problem zu erhalten, die dann in den zeitlichen Ablauf oder andere dynamische Systeme interpretiert werden können.