Problem 1
Zeigen Sie die Beziehungen \(\cosh ^{2} z-\sinh ^{2} z=1 \quad \sinh 2 z=2 \sinh z \cosh z\) \(\cosh (z+w)=\cosh z \cosh w+\sinh z \sinh w\) für die komplexen Hyperbelfunktionen.
Problem 3
Zeigen Sie, dass die Funktion \(\Phi(x, y)=x e^{x} \cos y-y e^{x} \sin y\) harmonisch ist und bestimmen Sie die zu \(\Phi\) konjugiert harmonische Funktion \(\Psi\).
Problem 4
Bestimmen Sie eine Transformation, die den Kreis mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt \(z_{0}=1+i\) auf den Einheitskreis abbildet.
Problem 7
$$ \text { Berechnen Sie die Residuen der Funktion } f(z)=\frac{\sin z}{z\left(z^{2}-1\right)} \text {. } $$
Problem 9
Berechnen Sie das Integral \(\int_{K} z e^{x} d z\), wobei \(K\) die Verbindungsgerade vom Punkt \(z_{1}=-1-i\) zum Punkt \(z_{2}=1+i\) ist.
Problem 10
Berechnen Sie die Integrale (a) \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}-1}{x^{4}+1} d x\) (b) \(\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2+\cos t} d t\) .
