Question

Gegeben ist die Ebene $E$mit $E:x_1+3x_2+2x_3=6$.

Die Schnittpunkte der Ebene $E$mit den Koordinatenachsen sind die sogenannten Spurpunkte der Ebene $E$. So ist $S_1\left(6\right|0\left|0\right)$ein Spurpunkt der Ebene $E$.

5.1

Gib die Koordinaten der anderen beiden Spurpunkte $S_2$und $S_3$der Ebene $E$an und zeichne das Dreieck $S_1{S}_2{S}_3$in das Koordinatensystem ein.

5.2

Es gibt unendlich viele Geraden, die parallel zu $E$sind und durch den Punkt $P\left(2\right|5\left|7\right)$verlaufen.

Bestimme die Gleichung einer solchen Gerade $g$.

Short answer

5.1

$S_2\left(0\right|2\left|0\right)$und $S_3\left(0\right|0\left|3\right)$

5.2

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ ist ein Normalvektor von $E$. Wegen $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$ist $\stackrel{\rightharpoonup }{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 7\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$eine Gleichung einer solchen Gerade $g$.

Step-by-step solution

Ausführliche Lösung zu 5.1

$E:x_1+3x_2+2x_3=6$(Ebene in Koordinatenform)

Schnittpunkt mit der$x_2$-Achse:

Es gilt: $x_1=0$und $x_3=0$

Setze das in E ein und löse anschließend nach $x_2$auf:

$$\begin{gathered} 0+3x_2+2·0=6 \\ 3x_2=6\overline{):3} \\ {x}_2=2\Rightarrow S_2\left(0\right|2\left|0\right) \end{gathered}$$

Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse:

Es gilt: $x_1=0$und $x_2=0$

Setze erneut in E ein und löse nach $x_3$auf.

$$\begin{gathered} 0+3·0+2x_3=6 \\ 2x_3=6\overline{):2} \\ {x}_3=3\Rightarrow S_3\left(0\right|0\left|3\right) \end{gathered}$$

Zeichne die drei Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde diese zu dem gesuchten Dreieck.

Ausführliche Lösung zu 5.2

Da die gesuchte Gerade durch den Punkt $P$verlaufen soll, wählt man diesen Punkt als Aufpunkt.

Also gilt:

$g:\stackrel{\rightharpoonup }{x}=\stackrel{\rightharpoonup }{p}+\lambda ·\stackrel{\rightharpoonup }{u}$

Die Gerade soll parallel zu $E$verlaufen. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$senkrecht auf dem Normalvektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u_e}$von $E$steht.

Wähle also due Koordinaten von $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$so, dass $\stackrel{\rightharpoonup }{u}\circ \stackrel{\rightharpoonup }{u_E}=0$ergibt!

Für den Normalvektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u_E}$gilt:

$\stackrel{\rightharpoonup }{u_E}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)E:1x_1+3x_2+2x_3=6$

Wenn man zum Beispiel der $x_2$-Koordinate von $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$den Wert 0 gibt, muss für die beiden anderen Koordinaten folgendes gelten: $x_1=\hspace{0.17em}2$und $x_3=-1$

Also: $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Anschließend musst du überprüfen, ob $\stackrel{\rightharpoonup }{u}\circ \stackrel{\rightharpoonup }{u_E}=0$ergibt.

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}\circ \stackrel{\rightharpoonup }{u_e}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=2·1+0·3+(-1)·2=0$

Somit ist $g:\stackrel{\rightharpoonup }{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 7\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$eine solche Gerade!

Hinweis:

Der Richtungsvektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ist beliebig wählbar! Es muss "nur" die Bedingung $\stackrel{\rightharpoonup }{u}\circ \stackrel{\rightharpoonup }{u_E}=0$erfüllt sein!