Question

A boat is pulled onto shore using two ropes, as shown in the diagram. If a force of \({\rm{255 N }}\)is needed, find the magnitude of the force in each rope.

Short answer

The magnitude of the force in each rope is

\(\begin{aligned}{c}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{ = 166}}{\rm{.44}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{ = 113}}{\rm{.85}}\end{aligned}\)

Step-by-step solution

Expand the equation.

Let \(\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|\)be the upper rope's force and \(\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|\)be the lower rope's force.

\(\begin{aligned}{l}{{\rm{F}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{cos2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{i + }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{j}}\\{{\rm{F}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{cos3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{i - }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{j}}\end{aligned}\)

To get,

\(\begin{aligned}{c}{{\rm{F}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{F}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 255i}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{cos2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{i + }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{j + }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{cos3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{i - }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{j = 255i}}\\\left( {\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{cos2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ + }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{cos3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}} \right){\rm{i + }}\left( {\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ - }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}} \right){\rm{j = 255i}}\end{aligned}\)

To achieve the following result by equating the components:

\(\begin{aligned}{c}\left( {\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{cos2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ + }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{cos3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}} \right){\rm{ = 255}}\\\left( {\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ - }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}} \right){\rm{ = 0}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ = }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{ = }}\frac{{\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}}}{{{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}}}\end{aligned}\)

To find\(\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|\)and\(\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|\).

\(\begin{aligned}{c}\frac{{\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}}}{{{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}}}{\rm{cos2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ + }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{cos3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ = 255}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{cot2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ + }}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{cos3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ = 255}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{ = }}\frac{{{\rm{255}}}}{{\left( {{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{cot2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}{\rm{ + cos3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}} \right)}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right| \approx {\rm{113}}{\rm{.85}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right| \approx \frac{{{\rm{113}}{\rm{.85}}\left( {{\rm{sin3}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}} \right)}}{{{\rm{sin2}}{{\rm{0}}^{\rm{^\circ }}}}}\\ \approx {\rm{166}}{\rm{.44}}\end{aligned}\)

Therefore, the magnitude of the force in each rope is

\(\begin{aligned}{c}\left| {{{\rm{F}}_{\rm{1}}}} \right|{\rm{ = 166}}{\rm{.44}}\\\left| {{{\rm{F}}_{\rm{2}}}} \right|{\rm{ = 113}}{\rm{.85}}\end{aligned}\)