Question

Evaluate the line integral, where\(C\) is the given curve

Short answer

Equation with parameters \(\frac{{{\rm{722}}}}{{{\rm{15}}}}\).

Step-by-step solution

Let the parametric equations \(C\)define the plane curve.

\({\rm{x = x(t)}}\;\;\;{\rm{y = y(t)}}\;\;\;{\rm{z = z(t)}}\;\;\;{\rm{a}} \le {\rm{t}} \le {\rm{b}}\)

\(\begin{array}{c}\;\;\;{\rm{f(x,y,z)dx}}{{\rm{ = }}_{\rm{a}}}{\rm{f(x(t),y(t),z(t))x}}\prime {\rm{(t)dt}}\\_{\rm{C}}{\rm{f(x,y,z)dy = }}_{\rm{b}}^{\rm{b}}{\rm{f(x(t),y(t),z(t))}}{{\rm{y}}^\prime }{\rm{(t)dt}}\\_{\rm{C}}{\rm{f(x,y,z)dz = }}_{\rm{a}}^{\rm{b}}{\rm{f(x(t),y(t),z(t))z}}\prime {\rm{(t)dt}}\end{array}\)

Using the formulas listed above.

\(\begin{array}{c}{\rm{ydx + zdy + xdz = }}_{\rm{1}}^{\rm{4}}{\rm{t}}{\sqrt {\rm{t}} ^\prime }{\rm{dt + }}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{(t)}}\prime {\rm{dt + }}\sqrt {\rm{t}} {{\rm{t}}^{\rm{2}}}\prime \\{\rm{dt}}{{\rm{ = }}_{\rm{1}}}{\rm{t \times }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {\rm{t}} }}{\rm{dt + }}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{ \times 1dt + }}\sqrt {\rm{t}} {\rm{ \times 2t}}\\{\rm{dt}}{{\rm{ = }}_{\rm{4}}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{{\rm{t}}^{{\rm{1/2}}}}{\rm{ + }}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{t}}^{{\rm{3/2}}}}\\{\rm{dt = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ \times }}\frac{{{{\rm{t}}^{{\rm{1/2 + 1}}}}}}{{{\rm{1/2 + 1}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{t}}^{{\rm{2 + 1}}}}}}{{{\rm{2 + 1}}}}{\rm{ + }}\left. {{\rm{2 \times }}\frac{{{{\rm{t}}^{{\rm{3/2 + 1}}}}}}{{{\rm{3/2 + 1}}}}} \right|_{\rm{1}}^{\rm{4}}\\{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{t}}^{{\rm{3/2}}}}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{t}}^{\rm{3}}}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}{\left. {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}{{\rm{t}}^{{\rm{5/2}}}}} \right|_{\rm{1}}}\\{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{4}}^{{\rm{3/2}}}}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{4}}^{\rm{3}}}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}{{\rm{4}}^{{\rm{5/2}}}}{\rm{ - }}\frac{{{{\rm{1}}^{{\rm{3/2}}}}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{1}}^{\rm{3}}}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}{{\rm{1}}^{{\rm{5/2}}}}\\{\rm{ = }}\frac{{\rm{8}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{64}}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{128}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}\\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{8 \times 5 + 64 \times 5 + 128 \times 3}}}}{{{\rm{1 \times 5 + 1 \times 5 + 4 \times 3}}}}{\rm{ - }}\frac{{{\rm{15}}}}{{{\rm{15}}}}\\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{744}}}}{{{\rm{15}}}}{\rm{ - }}\frac{{{\rm{22}}}}{{{\rm{15}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{722}}}}{{{\rm{15}}}}{\rm{.}}\end{array}\)

The integral of the line\({\rm{ = }}\frac{{{\rm{722}}}}{{{\rm{15}}}}\).