Question

Evaluate the integral\(\int_{\rm{1}}^{\rm{2}} {\frac{{\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1}}} }}{{\rm{x}}}} {\rm{dx}}\)

Short answer

Integral evaluation\(\int_{\rm{1}}^{\rm{2}} {\frac{{\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1}}} }}{{\rm{x}}}} {\rm{dx = }}\sqrt {\rm{3}} {\rm{ - }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}\)

Step-by-step solution

Modify the integration's bounds.

\(\begin{aligned}{l}{\rm{a = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}\;\;\;{\rm{,b = 0}}\\{\rm{I = }}\int_{\rm{0}}^{{\rm{\pi /3}}} {\frac{{\sqrt {{\rm{se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{t - 1}}} }}{{{\rm{sect}}}}} {\rm{secttantdt}}\end{aligned}\)

We are aware of this\({\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{t = se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{t - 1}}\).

\(\begin{aligned}{c}{\rm{I = }}_{\rm{0}}^{{\rm{\pi /3}}}\frac{{\sqrt {{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}} }}{{{\rm{sect}}}}{\rm{secttantdt}}\\{\rm{ = }}_{\rm{0}}^{{\rm{\pi /3}}}\frac{{{\rm{tant}}}}{{{\rm{sect}}}}{\rm{secttantdt}}\\{\rm{ = }}\;\;\;\frac{{{\rm{\pi /3}}}}{{{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{tdt}}}}\\{\rm{ = }}\;\;\;\left( {{\rm{se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{t - 1}}} \right){\rm{dt}}\\{\rm{ = }}\;\;{\rm{(tant - t)}}_{\rm{0}}^{{\rm{\pi /3}}}\\{\rm{ = }}\sqrt {\rm{3}} {\rm{ - }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}\end{aligned}\)

Determine the trig's identity\(\int_{\rm{1}}^{\rm{2}} {\frac{{\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1}}} }}{{\rm{x}}}} {\rm{dx = }}\sqrt {\rm{3}} {\rm{ - }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}\).