Question

Find the radius of convergence of the series \(\sum\limits_{{\rm{n = 1}}}^\infty {\frac{{{\rm{(2n)!}}}}{{{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}} {{\rm{x}}^{\rm{n}}}\)

Short answer

The radius of convergence of the series is \({\rm{R = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\).

Step-by-step solution

Put \({\rm{n = n + 1}}\).

\(\infty _{{\rm{n = 1}}}^\infty \frac{{{\rm{(2n)!}}}}{{{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}\)

Let

\(\begin{array}{c}{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{(2n)!}}}}{{{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}\\{\rm{put n = n + 1}}\\{{\rm{a}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{(2(n + 1))!}}}}{{{{{\rm{((n + 1)!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{n + 1}}}}\\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{(2n + 2)!}}}}{{{{{\rm{((n + 1)!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{n + 1}}}}\end{array}\)

Take the ratio test,

First, do the ratio test,

\(\begin{array}{c}\frac{{{{\rm{a}}_{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\frac{{{\rm{(2n + 2)!}}}}{{{{{\rm{((n + 1)!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{\frac{{{\rm{(2n)!}}}}{{{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}}}\\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{(2n + 2)!}}}}{{{{{\rm{((n + 1)!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ \times }}\frac{{{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{(2n)!}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}}}\\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{(2n + 2)(2n + 1) \times (2n)!}}}}{{{{{\rm{((n + 1)(n!))}}}^{\rm{2}}}}}{\rm{x \times }}\frac{{{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{(2n)!}}}}\\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{(2n + 2)(2n + 1)}}}}{{{{{\rm{(n + 1)}}}^{\rm{2}}}{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ \times }}\frac{{{{{\rm{(n!)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ \times x}}\\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{(2n + 2)(2n + 1)}}}}{{{{{\rm{(n + 1)}}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ \times x}}\\\frac{{{{\rm{a}}_{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 6n + 2}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2n + 1}}}}{\rm{ \times x}}\end{array}\)

Find the converges of the series.

After the Ratio Test. Remember for rational functions, if the degrees of the numerator and denominator are equal and same, then the limit is just the leading coefficients.

\(\begin{array}{c}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{n}} \to \infty } \left| {\frac{{{\rm{4}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 6n + 2}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2n + 1}}}}{\rm{ \times x}}} \right|{\rm{ = }}\left| {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{1}}}{\rm{x}}} \right|\\{\rm{ = |4x|}}\end{array}\)

The series will converge when \({\rm{|4 x| < 1}}\) or \({\rm{|x| < }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\)which gives us a radius of convergence \({\rm{R = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\)because the interval for xis from \({\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{,}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\).

Therefore, the radius of convergence of the series is \({\rm{R = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\).