Question

Find the Taylor polynomial \({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x)}}\)for the function centered at the number a, Graph \({\rm{f}}\) and \({{\rm{T}}_{\rm{3}}}\)on the same screen.

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{,\;a = 2}}\)

Short answer

The Taylor polynomial for the function centered at the number a, is \({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x) = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ - }}\frac{{{\rm{(x - 2)}}}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ - }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{16}}}}\).

Step-by-step solution

Definition on Taylor polynomial

A Taylor series is a clever approach to approximate any function as an infinitely many-term polynomial. The Taylor polynomial's terms are derived from the function's derivatives at a single point.

Finding the value of \({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x)}}\)

Consider the given information and simplify,

\({{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{(x)}}\) centered at ‘a’ is \(\sum\limits_{{\rm{r = 0}}}^{\rm{n}} {\frac{{{{\rm{f}}^{\rm{r}}}{\rm{(a)(xa}}{{\rm{)}}^{\rm{r}}}}}{{{\rm{r!}}}}}\).\({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x)=}}\frac{{{\rm{f(2)\times(x2}}{{\rm{)}}^{\rm{0}}}}}{{{\rm{0!}}}}{\rm{+}}\frac{{{{\rm{f}}'}{\rm{(2)\times(x2}}{{\rm{)}}^{\rm{1}}}}}{{{\rm{1!}}}}{\rm{+}}\frac{{{{\rm{f}}{''}}{\rm{(2)\times(x2}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2!}}}}{\rm{+}}\frac{{{{\rm{f}}^{'''}}{\rm{(2)\times(x2}}{{\rm{)}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{3!}}}}\)\({\rm{f(x)=}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}\Rightarrow{\rm{f(2)=}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\)\({{\rm{f}}^{\rm{'}}}{\rm{(x)=- }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}} \Rightarrow {{\rm{f}}^{\rm{'}}}{\rm{(2) = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\)\({{\rm{f}}^{{\rm{''}}}}{\rm{(x)=}}\frac{{\rm{2}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}}}\Rightarrow{{\rm{f}}^{{\rm{''}}}}{\rm{(2)=}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\)\({{\rm{f}}^{{\rm{'''}}}}{\rm{(x)=}}\frac{{\rm{6}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}}}\Rightarrow {{\rm{f}}^{{\rm{'''}}}}{\rm{(2) = - }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{8}}}\)

Hence, we get:

\({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x) = }}\frac{{{\rm{f(2) \times (x - 2}}{{\rm{)}}^{\rm{0}}}}}{{{\rm{0!}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{f'(2) \times (x - 2}}{{\rm{)}}^{\rm{1}}}}}{{{\rm{1!}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{f''(2) \times (x - 2}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2!}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{f'''(2) \times (x - 2}}{{\rm{)}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{3!}}}}\)

\({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x) = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ \times }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{1}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{ \times }}\frac{{{\rm{(x - 2)}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{ \times }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{8}}}{\rm{ \times }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{3}}}}}{{\rm{6}}}\)

\({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x) = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ - }}\frac{{{\rm{(x - 2)}}}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ - }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{16}}}}\)

Therefore, the Taylor polynomial for the function centered at the number a, is \({{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{(x) = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ - }}\frac{{{\rm{(x - 2)}}}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ - }}\frac{{{{{\rm{(x - 2)}}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{16}}}}\).

Plotting the required graph

In the graph below,

\(y = f\left( x \right)\)is the black curve

\(y = {T_3}\left( x \right)\)is the blue curve