Now, \(x = r\cos \theta \)
\(\begin{aligned} \int_{{\rm{ - 2}}}^{\rm{2}} {\int_{\sqrt {{\rm{4 - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}} }^{\sqrt {{\rm{4 - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}} } {\int_{\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}} }^{\rm{2}} {\rm{x}} } } \rm zdzdxdy &= \int_{\rm{0}}^{{\rm{2\pi }}} {\int_{\rm{0}}^{\rm{2}} {\int_{\rm{r}}^{\rm{2}} {{{\rm{r}}^{\rm{2}}}} } } {\rm{cos\theta zdzdrd\theta }}\\ \rm &= \int_{\rm{0}}^{{\rm{2\pi }}} {\int_{\rm{0}}^{\rm{2}} {{{\rm{r}}^{\rm{2}}}} } {\rm{cos\theta }}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}} \right)_{\rm{r}}^{\rm{2}}{\rm{drd\theta }}\\ \rm &= \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\int_{\rm{0}}^{{\rm{2\pi }}} {\int_{\rm{0}}^{\rm{2}} {{{\rm{r}}^{\rm{2}}}} } {\rm{cos\theta }}\left( {{\rm{4 - }}{{\rm{r}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{drd\theta }}\\ \rm &= \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\int_{\rm{0}}^{{\rm{2\pi }}} {\int_{\rm{0}}^{\rm{2}} {{{\rm{r}}^{\rm{2}}}} } {\rm{cos\theta }}\left( {{\rm{4 - }}{{\rm{r}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{drd\theta }}\end{aligned}\)
Separate the integrals,
\(\begin{array}{l}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\int_{\rm{0}}^{{\rm{2\pi }}} {{\rm{cos}}} {\rm{\theta d\theta }}\int_{\rm{0}}^{\rm{2}} {\rm{4}} {{\rm{r}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}^{\rm{4}}}{\rm{dr}}\\{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{(sin\theta )}}_{\rm{0}}^{{\rm{2\pi }}}\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}{{\rm{r}}^{\rm{3}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{5}}}{{\rm{r}}^{\rm{5}}}} \right)\\{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{(0 - 0)}}\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}{{\rm{r}}^{\rm{3}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{5}}}{{\rm{r}}^{\rm{5}}}} \right)\\{\rm{ = 0}}\end{array}\)
Thus , the value of the given integral is \({\rm{0}}\).