Question

Evaluate the definite integral \(\int_{\rm{0}}^{\rm{1}} {\frac{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + 1}}}}{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + z}}}}} {\rm{ dz}}\)

Short answer

So the definite integral\(\int_{\rm{0}}^{\rm{1}} {\frac{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + 1}}}}{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + z}}}}} {\rm{dz = ln(e + 1)}}\)

Step-by-step solution

Evaluation of\(\int_{\rm{0}}^{\rm{1}} {\frac{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ +   1}}}}{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ +   z}}}}} {\rm{ dz}}\).

So theevaluation is \(\int_{\rm{0}}^{\rm{1}} {\frac{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + 1}}}}{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + z}}}}} {\rm{ dz}}\)

Then \({{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + z = u and }}\left( {{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + 1}}} \right){\rm{dz = du}}\)

Integration will undergo a transformation.

That’s why \({\rm{ - }}{{\rm{0}}^{\rm{1}}}{\rm{ to }}\;\;\;{\rm{ - }}{{\rm{e}}^{\rm{0}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{{{\rm{e}}^{\rm{1}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}_{\rm{1}}^{{\rm{e + 1}}}\)

Integration will be change like this

\(\begin{aligned}{c}_{\rm{0}}^{\rm{1}}\frac{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + 1}}}}{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + z}}}}{\rm{dz = }}_{\rm{1}}^{{\rm{1 + e}}}\frac{{{\rm{du}}}}{{\rm{u}}}\\{\rm{ = ln|u|}}_{\rm{1}}^{{\rm{1 + e}}}\\{\rm{ = ln(1 + e) - ln(1)}}\\{\rm{ = ln(1 + e)}}\end{aligned}\)

Hence, the definite integral \({\rm{ }}\int_{\rm{0}}^{\rm{1}} {\frac{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + 1}}}}{{{{\rm{e}}^{\rm{z}}}{\rm{ + z}}}}} {\rm{dz = ln(e + 1)}}\)