Question

Evaluate the indefinite integral\(\int {\frac{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3}}}}{\rm{dt}}} \).

Short answer

The indefinite integral value of the given equation is\(\int {\frac{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3}}}}{\rm{dt}}} {\rm{ = }}\frac{{{\rm{ln(}}{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3)}}}}{{{\rm{ln2}}}}{\rm{ + C}}\).

Step-by-step solution

Expand the number of variables in the equation.

Given: \(\int {\frac{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3}}}}{\rm{dt}}} \)

Substitute \({{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3}}\)and \({{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ln2dt = du}} \Rightarrow {{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{dt = }}\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{ln2}}}}\)

Evaluate the equation.

Used: \(\frac{{{\rm{d}}\left( {{{\rm{a}}^{\rm{x}}}} \right)}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{ = }}{{\rm{a}}^{\rm{x}}}{\rm{lna}}\)

\(\begin{aligned}{c}{\rm{ &= }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{ln2}}}}\int {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{u}}}{\rm{du}}} \\{\rm{ &= }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{ln2}}}}{\rm{ \times lnu + C}}\end{aligned}\)

Return to the original position \({\rm{u = }}{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3}}\)

\({\rm{ = }}\frac{{{\rm{ln(}}{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3)}}}}{{{\rm{ln2}}}}{\rm{ + C}}\)

Therefore, the indefinite integral value of the given equation is\(\int {\frac{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3}}}}{\rm{dt}}} {\rm{ = }}\frac{{{\rm{ln(}}{{\rm{2}}^{\rm{t}}}{\rm{ + 3)}}}}{{{\rm{ln2}}}}{\rm{ + C}}\).