Question

Five friends have access to a chat room. Is it possible to determine who is chatting if the following information is known? Either Kevin or Heather, or both, are chatting. Either Randy or Vijay, but not both, are chatting. If Abby is chatting, so is Randy. Vijay and Kevin are either both chatting and neither is. If Heather is chatting, then so are Abby and Kevin. Explain your reasoning.

Short answer

Kevin and Vijay are chatting.

Step-by-step solution

Solution of given Statement

LetK, be the statement "Kevin is chatting"

LetH, be the statement "Heather is chatting"

LetR, be the statement "Randy is chatting"

LetV, be the statement "Vijay is chatting"

LetA, be the statement "Abby is chatting"

LetS_1, be the statement "Either Kevin or Heather, or both, are chatting."

LetS_2, be the statement "Either Randy or Vijay, but not both, are chatting."

LetS_3, be the statement "If Abby is chatting, so is Randy."

LetS_4, be the statement "Vijay and Kevin are either both are chatting or neither is."

LetS_5, be the statement "If Heather is chatting, then so are Abby and Kevin."

Now translate them into conditional statements:

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_1=\mathrm{K}\vee \mathrm{H} \\ {\mathrm{S}}_2=\mathrm{R}\oplus \mathrm{V} \\ {\mathrm{S}}_3=\mathrm{A}\to \mathrm{R} \\ {\mathrm{S}}_4=\mathrm{V}\leftrightarrow \mathrm{K} \\ {\mathrm{S}}_5=\to \left(\mathrm{A}\wedge \mathrm{K}\right) \end{gathered}$$

To get a conclusion C :

$\mathrm{C}={\mathrm{S}}_1\wedge {\mathrm{S}}_2\wedge {\mathrm{S}}_3\wedge {\mathrm{S}}_4\wedge {\mathrm{S}}_5$

Truth table for above Statement

Now construct the truth table:

$\left[\begin{array}{cccccccccccc}x& \mathrm{K}& \mathrm{H}& \mathrm{R}& \mathrm{V}& \mathrm{A}& {\mathrm{S}}_1& {\mathrm{S}}_2& {\mathrm{S}}_3& {\mathrm{S}}_4& {\mathrm{S}}_5& \mathrm{C}\\ 1& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 2& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 3& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 4& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 5& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 6& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 7& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 8& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 9& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 10& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 11& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 12& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 13& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 14& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}\\ 15& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cccccccccccc}16& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 17& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 18& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 19& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 20& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 21& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 22& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 23& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 24& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}\\ 25& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 26& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 27& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 28& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 29& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 30& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 31& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\\ 32& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{F}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{T}& \mathrm{F}\end{array}\right]$

So we can conclude that Kevin and Vijay are chatting.