Question

Show that if $\mathrm{a}\equiv \mathrm{b}(\mathrm{mod}\mathrm{m})\mathrm{and}\mathrm{c}\equiv \mathrm{d}(\mathrm{mod}\mathrm{m})$, then $a+c\equiv b+d(modm)$.

Short answer

$\mathrm{a}+\mathrm{c}\equiv \mathrm{b}+\mathrm{d}\mathrm{mod}\mathrm{m}$.

Step-by-step solution

Step 1

$\mathrm{a}\equiv \mathrm{b}\mathrm{mod}\mathrm{m}\iff (\mathrm{a}-\mathrm{b})=\mathrm{km}$ for some integer k.

$\mathrm{c}\equiv \mathrm{d}\mathrm{mod}\mathrm{m}\iff (\mathrm{c}-\mathrm{d})=\mathrm{lm}$for some integer I.

Step 2

Thus,

$(\mathrm{a}+\mathrm{c})-(\mathrm{b}+\mathrm{d})=(\mathrm{a}-\mathrm{b})+(\mathrm{c}-\mathrm{d})=\mathrm{km}+\mathrm{lm}=(\mathrm{k}+\mathrm{l})\mathrm{m}$

Hence, role="math" localid="1668497438268" $\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{\equiv }\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{d}\mathbf{}\mathit{m}\mathit{o}\mathit{d}\mathbf{}\mathbf{m}\mathbf{}$.