Question

For each of these partial functions, determine its domain, codomain, domain of definition, and the set of values for which it is undefined. Also, determine whether it is a total function.

$\begin{array}{r}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{f}:\mathrm{Z}\to \mathrm{R},\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)=1/\mathrm{n}\\ \left(\mathrm{b}\right)\mathrm{f}:\mathrm{Z}\to \mathrm{Z},\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)=\lceil \mathrm{n}/2\rceil \\ \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{f}:\mathrm{Z}\times \mathrm{Z}\to \mathrm{Q},\mathrm{f}(\mathrm{m},\mathrm{n})=\mathrm{m}/\mathrm{n}\\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{f}:\mathrm{Z}\times \mathrm{Z}\to \mathrm{Z},\mathrm{f}(\mathrm{m},\mathrm{n})=\mathrm{mn}\\ \left(\mathrm{e}\right)\mathrm{f}:\mathrm{Z}\times \mathrm{Z}\to \mathrm{Z},\mathrm{f}(\mathrm{m},\mathrm{n})=\mathrm{m}-\mathrm{nifm}>\mathrm{n}\end{array}$

Short answer

$\begin{array}{r}\left(\mathrm{a}\right){\mathrm{f}}^{\ast }\left(\mathrm{n}\right)=\left\{\begin{array}{c}1/\text{nifn}\ne 0\\ \text{iifn}=0\end{array}\right.\\ \mathrm{b})\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{total}\mathrm{function}\mathrm{and}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{partial}\mathrm{function}\\ {\mathrm{f}}^{\ast }(\mathrm{m},\mathrm{n})=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}/\text{nifn}\ne 0\\ \text{iifn}=0\end{array}\right.\\ \mathrm{d})\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{total}\mathrm{function}\mathrm{and}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{partial}\mathrm{function}\\ {\mathrm{f}}^{\ast }(\mathrm{m},\mathrm{n})=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}-\text{nifm}>\mathrm{n}\\ \text{iifm}\le \mathrm{n}\end{array}\right.\end{array}$

Step-by-step solution

Step: 1

$\begin{array}{r}\left(\mathrm{a}\right){\mathrm{f}}^{\ast }\left(\mathrm{n}\right)=\left\{\begin{array}{c}1/\text{nifn}\ne 0\\ \text{iifn}=0\end{array}\right.\\ \mathrm{b})\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{total}\mathrm{function}\mathrm{and}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{partial}\mathrm{function}\\ {\mathrm{f}}^{\ast }(\mathrm{m},\mathrm{n})=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}/\text{nifn}\ne 0\\ \text{iifn}=0\end{array}\right.\\ \mathrm{d})\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{total}\mathrm{function}\mathrm{and}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{partial}\mathrm{function}\\ {\mathrm{f}}^{\ast }(\mathrm{m},\mathrm{n})=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}-\text{nifm}>\mathrm{n}\\ \text{iifm}\le \mathrm{n}\end{array}\right.\end{array}$