Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Give}\mathrm{precise}\mathrm{mathematical}\mathrm{definitions}\mathrm{or}\mathrm{descriptions}\mathrm{of}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{concepts}\mathrm{that}\mathrm{follow}. \\ \mathrm{Then}\mathrm{illustrate}\mathrm{the}\mathrm{definition}\mathrm{with}\mathrm{a}\mathrm{graph}\mathrm{or}\mathrm{an}\mathrm{algebraic}\mathrm{example}. \\ \mathrm{the}\mathrm{unit}\mathrm{tangent}\mathrm{function}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{differentiable}\mathrm{vector}\mathrm{function}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right) \end{gathered}$$

Short answer

$\mathrm{T}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)}{||\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)||}$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

A vector function r(t)

Step 2. Unit Tangent Function

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{differentiable}\mathrm{vector}\mathrm{function}\mathrm{on}\mathrm{some}\mathrm{interval}\mathrm{I}\subseteq \mathrm{R}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\ne 0\mathrm{on}\mathrm{I}. \\ \mathrm{The}\mathrm{unit}\mathrm{tangent}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{to}\mathrm{be}: \\ \mathrm{T}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)}{||\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)||} \end{gathered}$$