Question

Let y = f (x). State the definition for the continuity of the function f at a point c in the domain of f .

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{continuity}\mathrm{or}\mathrm{discontinuity}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{point}\text{'}\mathrm{c}\text{'}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{said}\mathrm{only}\mathrm{when}\text{'}\mathrm{c}\text{'}\mathrm{is} \\ \mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{domain}\mathrm{of}\mathrm{f} \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

A function y = f(x)

Step 2. Checking continuity of function f

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{objective}\mathrm{is}\mathrm{to}\mathrm{define}\mathrm{the}\mathrm{continuity}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{c}\mathrm{in} \\ \mathrm{the}\mathrm{domain}\mathrm{of}\mathrm{f}. \\ \mathrm{Definition}: \\ \mathrm{R}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{set}\mathrm{of}\mathrm{real}\mathrm{numbers}.\mathrm{Let}\mathrm{E}\subseteq \mathrm{R},\mathrm{f}:\mathrm{E}\to \mathrm{R}\mathrm{and}\mathrm{c}\in \mathrm{E},\mathrm{then}\mathrm{we}\mathrm{say}\mathrm{that}\mathrm{f} \\ \mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{\epsilon }>0\mathrm{there}\mathrm{exists}\mathrm{a}\mathrm{\delta }>0\mathrm{such}\mathrm{that}\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\right|<\mathrm{\epsilon } \\ \mathrm{whenever}\mathrm{x}\in \mathrm{E}\mathrm{and}\left|\mathrm{x}-\mathrm{c}\right|<\mathrm{\delta }. \\ \mathrm{If}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c},\mathrm{then}\mathrm{we}\mathrm{say}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{discontinuous}\mathrm{at}\mathrm{c}. \\ \mathrm{Note}:\mathrm{the}\mathrm{continuity}\mathrm{or}\mathrm{discontinuity}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{point}\text{'}\mathrm{c}\text{'}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{said}\mathrm{only}\mathrm{when}\text{'}\mathrm{c}\text{'}\mathrm{is} \\ \mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{domain}\mathrm{of}\mathrm{f}. \\ \mathrm{For}\mathrm{example}: \\ \mathrm{A}\mathrm{polynomial}\mathrm{function}\mathrm{defined}\mathrm{by}\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}\mathrm{and}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-5\mathrm{x}+10\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{every} \\ \mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{R}. \end{gathered}$$