Question

$$\begin{gathered} \mathrm{What}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{relationship}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{differentiable}\mathrm{vector}\mathrm{function} \\ \mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\int \mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt},\mathrm{one}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{antiderivatives}\mathrm{of}\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)? \end{gathered}$$

Short answer

$\mathrm{The}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{and}\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{differ}\mathrm{by}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{vector}.$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$\mathrm{A}\mathrm{differentiable}\mathrm{vector}\mathrm{function}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)$

Step 2. Integrability of y=f(x) on [a,b]

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{f}:[\mathrm{a},\mathrm{b}]\to \mathrm{R}.\mathrm{Let}\mathrm{f}\mathrm{has}\mathrm{an}\mathrm{antiderivatives}\mathrm{f}\mathrm{on}\mathrm{I}. \\ \mathrm{Then}\mathrm{we}\mathrm{say}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{has}\mathrm{an}\mathrm{integral}\mathrm{f}\mathrm{on}\mathrm{I}\mathrm{and}\mathrm{for}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{constant}\mathrm{c},\mathrm{we}\mathrm{say} \\ \mathrm{F}+\mathrm{c}\mathrm{an}\mathrm{indefinite}\mathrm{integral}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{over}[\mathrm{a},\mathrm{b}]\mathrm{denoted}\mathrm{by}\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.\mathrm{Thus}, \\ \int \mathrm{f}=\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{c} \\ \mathrm{The}\mathrm{same}\mathrm{thing}\mathrm{applies}\mathrm{to}\mathrm{vector}\mathrm{function}\mathrm{also}.\mathrm{So}, \\ \int \mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{c},\mathrm{where}\mathrm{c}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{vector}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{and}\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{differ}\mathrm{by}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{vector}. \end{gathered}$$