Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Find}\mathrm{the}\mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{vector}-\mathrm{valued}\mathrm{function}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{t}}^2\mathrm{i}-6{\mathrm{t}}^2\mathrm{j},\mathrm{t}>0, \\ \mathrm{and}\mathrm{show}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{derivative}\mathrm{at}\mathrm{any}\mathrm{point}{\mathrm{t}}_0\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{scalar}\mathrm{multiple}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{derivative} \\ \mathrm{at}\mathrm{any}\mathrm{other}\mathrm{point}.\mathrm{What}\mathrm{does}\mathrm{this}\mathrm{property}\mathrm{say}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{r}?\mathrm{Use}\mathrm{that} \\ \mathrm{information}\mathrm{to}\mathrm{sketch}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{r}. \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=2\mathrm{ti}-12\mathrm{tj} \\ \mathrm{The}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{portion}\mathrm{of}\mathrm{straight}\mathrm{line}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{t}}^2\mathrm{i}-6{\mathrm{t}}^2\mathrm{j},\mathrm{t}>0$

Step 2. Calculating derivative

Step 3. Graph of r

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}{\mathrm{t}}_0\mathrm{and}{\mathrm{t}}_1\mathrm{be}\mathrm{any}\mathrm{two}\mathrm{positive}\mathrm{real}\mathrm{numbers}, \\ \mathrm{r}\text{'}\left({\mathrm{t}}_0\right)=2{\mathrm{t}}_0\mathrm{i}-12{\mathrm{t}}_0\mathrm{j} \\ \mathrm{r}\text{'}\left({\mathrm{t}}_1\right)=2{\mathrm{t}}_1\mathrm{i}-12{\mathrm{t}}_1\mathrm{j} \\ \mathrm{The}\mathrm{vectors}\mathrm{r}\left({\mathrm{t}}_0\right)\mathrm{and}\mathrm{r}\text{'}\left({\mathrm{t}}_1\right)\mathrm{are}\mathrm{multiples}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{vector}\mathrm{i}-6\mathrm{j},\mathrm{hence}, \\ \mathrm{they}\mathrm{are}\mathrm{scalar}\mathrm{multiples}\mathrm{of}\mathrm{each}\mathrm{other}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{portion}\mathrm{of}\mathrm{straight}\mathrm{line}. \end{gathered}$$