Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{t}=\mathrm{f}\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{differentiable}\mathrm{real}-\mathrm{valued}\mathrm{function}\mathrm{of}\mathrm{\tau },\mathrm{and}\mathrm{let}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{differentiable} \\ \mathrm{vector}\mathrm{function}\mathrm{with}\mathrm{either}\mathrm{two}\mathrm{or}\mathrm{three}\mathrm{components}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{f}\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{is}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{domain}\mathrm{of}\mathrm{r} \\ \mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{\tau }\mathrm{on}\mathrm{some}\mathrm{interval}\mathrm{I}.\mathrm{Find}\frac{d\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{\tau }\right)\right)\right)}{d\mathrm{\tau }}. \end{gathered}$$

Short answer

$\frac{d\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{\tau }\right)\right)\right)}{d\mathrm{\tau }}=\mathrm{r}\text{'}\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{\tau }\left)\right).\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{\tau }\right)$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

Step 2. Calculating drfτdτ