Question

Let $\left\{a_k\right\}$be a sequence of positive terms. Prove Theorem 7.6 (b) along with the following variations:

(a) Show that when $\frac{a_{k+1}}{a_k}\ge 1$≥ 1 for every k ≥ 1, the sequence is increasing.

(b) Show that when localid="1649277252156" $\frac{a_{k+1}}{a_k}>1$for every k ≥ 1, the sequence is strictly increasing.

(c) Show that when localid="1649277261045" $\frac{a_{k+1}}{a_k}\le 1$for every k ≥ 1, the sequence is decreasing.

(d) Show that when localid="1649277269413" $\frac{a_{k+1}}{a_k}<1$for every k ≥ 1, the sequence is strictly decreasing.

Short answer

Proved.

Step-by-step solution

Step 1. Given

Let $\left\{a_k\right\}$be a sequence of positive terms.

Part (a) Step 2. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\ge 1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\ge 1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)\ge \left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}\ge {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

Part (b) Step 3. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}>1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}>1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)>\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}>{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{Strictly}\mathrm{increasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

Part(c) Step 4. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\le 1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\le 1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)\le \left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}\le {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}de\mathrm{creasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

Part (d) Step 5. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}<1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}<1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)<\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}<{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{strictly}\mathrm{decreasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$