Question

Let $\left\{a_k\right\}$be a sequence. Prove Theorem 7.6 (a) along with the following variations:

(a) Show that when role="math" localid="1649277359535" $a_{k-1}-a_k$≥ 0 for every k ≥ 1, the sequence is increasing.

(b) Show that when $a_{k-1}-a_k$> 0 for every k ≥ 1, the sequence is strictly increasing.

(c) Show that when role="math" localid="1649277346412" $a_{k-1}-a_k$≤ 0 for every k ≥ 1, the sequence is decreasing.

(d) Show that when $a_{k-1}-a_k$< 0 for every k ≥ 1, the sequence is strictly decreasing.

Short answer

Proved

Step-by-step solution

Step 1. Given

Consider the sequence$\left\{a_k\right\}$

Part (a) Step 2. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\ge 0,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{adding}\mathrm{the}\mathrm{inequality}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\ge 0\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\ge 0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}\ge {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}in\mathrm{creasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

Part(b) Step 3. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}>0,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{adding}\mathrm{the}\mathrm{inequality}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}>0\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}>0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}>{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{strictly}in\mathrm{creasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

Part(c) Step 4. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\le 0,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{adding}\mathrm{the}\mathrm{inequality}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\le 0\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\le 0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}\le {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}de\mathrm{creasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

Part(d) Step 5. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}<0,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{adding}\mathrm{the}\mathrm{inequality}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}<0\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}<0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}<{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}\ge 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}strictlyde\mathrm{creasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$