Question

Use the divergence test to prove that a geometric series $\sum _{k=1}^{\infty }c{r}^k$diverges when$\left|r\right|\ge 1$ and $c\ne 0.$

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{series}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{converge}\mathrm{to}0. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{by}\mathrm{divergence}\mathrm{test}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{by}\mathrm{divergence}\mathrm{test},\mathrm{the}\mathrm{geometric}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}\mathrm{when}\left|\mathrm{r}\right|\ge 1\mathrm{and}\mathrm{c}\ne 0. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{\infty }c{r}^{k}and \\ \left|r\right|\ge 1,c\ne 0 \end{gathered}$$

Step 2. Examining different cases for c>0

$$\begin{gathered} \mathrm{First},\mathrm{assume}\mathrm{c}>0 \\ \mathrm{Case}1:\mathrm{when}\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{r}\le -1 \\ \mathrm{The}\mathrm{ratio}\mathrm{of}\mathrm{geometric}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{r}\le -1, \\ \mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{exist}. \\ \mathrm{Case}2:\mathrm{When}\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{r}=1 \\ \mathrm{The}\mathrm{ratio}\mathrm{of}\mathrm{geometric}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{r}=1, \\ \mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{become}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\mathrm{c} \\ \mathrm{Therefore},\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}=\mathrm{c} \\ \mathrm{The}\mathrm{sequence}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{converge}\mathrm{to}0. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{for}\mathrm{r}=1,\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{by}\mathrm{divergence}\mathrm{test}. \\ \mathrm{Case}3:\mathrm{When}\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{r}>1 \\ \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}\mathrm{is}: \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}=\infty \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{converge}\mathrm{to}0. \end{gathered}$$

Step 3. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{by}\mathrm{divergence}\mathrm{test}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{similar}\mathrm{fashion},\mathrm{result}\mathrm{is}\mathrm{proved}\mathrm{for}\mathrm{c}<0. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{by}\mathrm{divergence}\mathrm{test},\mathrm{the}\mathrm{geometric}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{cr}}^{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}\mathrm{when}\left|\mathrm{r}\right|\ge 1\mathrm{and}\mathrm{c}\ne 0. \end{gathered}$$