Question

Use the divergence test to prove that a p-series$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^p}$ diverges when p < 0.

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{expression}\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{zero}\mathrm{for}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{p}\mathrm{which}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{or}\mathrm{greater}\mathrm{than}1. \\ \mathrm{To}\mathrm{make}\mathrm{the}\mathrm{expression}\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{non}-\mathrm{zero},\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{p}\mathrm{must}\mathrm{be}\mathrm{less}\mathrm{than}0. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{by}\mathrm{divergence}\mathrm{test},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{for}\mathrm{p}<0. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^p}$

Step 2. Finding the limit:

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}=\left\{\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\right\}\mathrm{is}: \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \\ \mathrm{The}\mathrm{expression}\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{zero}\mathrm{for}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{p}\mathrm{which}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{or}\mathrm{greater}\mathrm{than}1. \\ \mathrm{The}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{only}\mathrm{when}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{converge}\mathrm{to}\mathrm{zero}. \end{gathered}$$

Step 3. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{make}\mathrm{the}\mathrm{expression}\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{non}-\mathrm{zero},\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{p}\mathrm{must}\mathrm{be}\mathrm{less}\mathrm{than}0. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{by}\mathrm{divergence}\mathrm{test},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{for}\mathrm{p}<0. \end{gathered}$$